가변 계수로 2 차 ODE 풀기

Question

이 2 차 ODE를 해결하는 방법

$$\frac{d^2 u}{dx^2} - k^2\frac{\gamma-3x^2}{\gamma x-x^3}\frac{d u}{d x} + k^3u=0 $$ 어디 $k, \gamma$ 실제 상수이고 $\gamma\neq 0$.

나는 세 개의 규칙적인 특이점이 있기 때문에 frobenius 방법을 사용하여 이것을 해결했습니다. 그러나 그것은 복잡해지고 그것을 해결할 다른 방법이 있는지 알고 싶었습니다!

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Frobenius_method

Answer 1

취하다 $k\neq0$ 주요 사례

케이스 $1$: $\gamma=0$

그때 $\dfrac{d^2u}{dx^2}-\dfrac{3k^2}{x}\dfrac{du}{dx}+k^3u=0$

$x\dfrac{d^2u}{dx^2}-3k^2\dfrac{du}{dx}+k^3xu=0$

Bessel ODE로 줄일 수 있습니다.

케이스 $2$: $\gamma\neq0$

그때 $\dfrac{d^2u}{dx^2}-k^2\dfrac{\gamma-3x^2}{\gamma x-x^3}\dfrac{du}{dx}+k^3u=0$

$\dfrac{d^2u}{dx^2}-\dfrac{k^2(3x^2-\gamma)}{x(x^2-\gamma)}\dfrac{du}{dx}+k^3u=0$

허락하다 $r=x^2$ ,

그때 $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{du}{dr}\dfrac{dr}{dx}=2x\dfrac{du}{dr}$

$\dfrac{d^2u}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(2x\dfrac{du}{dr}\right)=2x\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{du}{dr}\right)+2\dfrac{du}{dr}=2x\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{du}{dr}\right)\dfrac{dr}{dx}+2\dfrac{du}{dr}=2x\dfrac{d^2u}{dr^2}2x+2\dfrac{du}{dr}=4x^2\dfrac{d^2u}{dr^2}+2\dfrac{du}{dr}=4r\dfrac{d^2u}{dr^2}+2\dfrac{du}{dr}$

$\therefore4r\dfrac{d^2u}{dr^2}+2\dfrac{du}{dr}-\dfrac{2k^2(3r-\gamma)}{r-\gamma}\dfrac{du}{dr}+k^3u=0$

$4r(r-\gamma)\dfrac{d^2u}{dr^2}+(2(r-\gamma)-2k^2(3r-\gamma)\dfrac{du}{dr}+k^3(r-\gamma)u=0$

$4r(r-\gamma)\dfrac{d^2u}{dr^2}-(2(6k^2-1)r-(k^2-1)\gamma))\dfrac{du}{dr}+k^3(r-\gamma)u=0$

어떤 관련 , 낸시 홍의 지류 식 .