가능한 조합 수

Question

숫자 1,2,3,4,5의 가능한 조합 수를 찾고 싶습니다.

내 접근 방식 :

채울 곳이 5 개 있다고 가정 해 보겠습니다. $\text{_,_,_,_,_}$. 처음에는 5 개의 가능한 숫자를 가질 수 있고, 두 번째에는 4 개의 가능한 숫자를 가질 수 있고, 세 번째에는 2 개의 가능한 숫자 (이전에 선택한 두 가지 중 하나)를 가질 수 있으며, 마찬가지로 4 위와 5 위에 대해서도 마찬가지입니다. , 2 개의 가능한 숫자가있을 수 있습니다. 그래서 우리는

$$5\times 4 \times 2^3 \times 5!$$

이제 모든 중복 항목을 할인해야합니다. 두 가지 경우가 있습니다. 하나는 우리가 같은 것 (그리고 하나는 다른 것)이 4 개 있고, 하나는 같은 것 3 개와 다른 것 2 개가 있습니다. 따라서 총 조합은$$5\times 4 \times 2^2 \times 5! (\frac{1}{2!2!} +\frac{1}{4!})$$. 그러나 이것은 잘못된 것입니다. 누군가 이것이 왜 잘못된 것인지 설명 할 수 있습니까?

Answer 1

채울 공간이 세 개 뿐이라고 가정합니다. 숫자 1와 를 선택했다면 정확히 2 개의 다른 숫자로 2정렬 하려면 6 가지 가능성이 있습니다.

112 121 211 122 212 221

배열 수는 다음과 같이 작성 될 수 있습니다. $2^3 - 2 = 8-2 = 6,$때문에 111그리고 222, 하나의 숫자를 가지고 허용되지 않습니다.

그런 다음 선택할 두 숫자를 결정해야합니다. 있다 ${5 \choose 2} = 10$ 선택하는 방법 :

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

따라서 세 개의 슬롯에 대한 답은 $(2^3 - 2){5 \choose 2} = 60.$

일반화.

Answer 2

귀하의 접근 방식에서 번호를 주문하는 방법을 계산하기 전에 처음 두 위치에 다른 번호를 가진 모든 주문이 이미 있습니다. 당신은 처음 두 사람이$4$두 번째 위치에 대한 선택. 당신은 당신이 가지고 있다고 말함으로써 처음 두 숫자에서 일치하는 것을 세어 후속 조치를 취할 수 있습니다.$5$ 첫 번째 선택, $1$ 두 번째로 $4$ 세 번째, $2$각각에 대해. 그것은 처음 두 경기와 세 번째가 다른 모든 것을 얻을 것입니다. 이제 처음 세 개가 똑같고 네 번째가 다르고 마지막으로 처음 네 개가 같은 곳을 세십시오.

다른 방법은 먼저 순서가 지정되지 않은 가능성을 계산하는 것입니다. 있습니다$20$하나의 숫자 중 세 개와 다른 두 개의 조합. 이들 각각은$\frac {5!}{3!2!}$ 방법, 또는 $5 \choose 2$쌍을위한 슬롯을 선택하는 것을 생각한다면 방법. 유사하게$20$4 개의 숫자와 다른 숫자의 조합. 그들을 주문하는 방법을 세고 그것을 모두 더하십시오.