기본 그룹 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$

Question

기본 그룹을 계산하고 싶습니다. $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$아마도 Van Kampen 정리를 사용하면 SE에 복잡한 투영 공간이 단순히 연결되어 있습니까?라는 또 다른 소스 가 있습니다. 그러나 그것은 나의 실제 지식을 넘어선 다.

상 동성을 사용하지 않고 실제와 복잡한 사영 기본 그룹의 계산에는 많은 차이가있는 것 같습니다. 왜냐하면 고전 책에서도 자료를 찾지 못했기 때문입니다.

제가하고 싶은 것은 귀납법으로 진행하는 것입니다. $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1} \sim \mathbb{S}^{2}$간단히 연결됩니다. 귀납적 단계에 대해 정의하고 싶습니다$A = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}- H$, 어디 $H = \left\lbrace [x_{0} : \cdots : x_{n}] : x_{0} = 0\right\rbrace$ 과 $B = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}-[1 : \cdots : 0]$

알아 $A$ 동종이다 $\mathbb{C}^{n}$그래서 그것은 사소한 기본 그룹이 있습니다. 나는 그것을 증명하고 싶다$H$ 변형 후퇴입니다 $B$ 단순히 연결되어 있다는 결론을 내리고 교차로가 경로로 연결되어 있기 때문입니다.

나는 제대로 (즉, 공식적으로) 변형을 구성하는 방법을 정말로 모른다. $H$. 간단한 방법이나 더 좋은 방법이 있습니까?

일반 토폴로지보다 더 이상 이론이 필요하지 않고 Van Kampen을 사용하는 모든 도움, 힌트 또는 솔루션을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

아마도 이것이 도움이 될 것입니다. 얻을 수 있습니다$\mathbb CP^n$ ...에서 $\mathbb CP^{n-1}$ 차원의 디스크를 붙임으로써 $2n$ 표준지도 사용 $S^{2n-1}\to \mathbb CP^{n-1}$. 따라서 우리는$X$ 에서 얻은 $Y$ 같이 $Y\cup_f e^{2n}$, 시작 $n=1$. 주장은$X$ 단순히 연결되어 있으므로 $Y$. 사실,지도가$Y\to X$ 세포가 추가되면 동형이 유도됩니다. $\pi_1$.

이것을 보려면 루프를 고려하십시오. $X$. 루프가 내부에서 적어도 하나의 지점을 놓친다고 가정 할 수 있다고 (압축성 또는 기타 방식으로) 주장$e^{2n}$. 이 작업이 완료되면 포인트를 제거하는 사실을 사용할 수 있습니다.$e^{2n}$ 집어 넣을 수 있습니다. $Y$, 그리고이 공간의 루프는 수축 가능합니다.

추가 . 지도$S^{2n+1}\to \mathbb CP^n$여기에서 좀 더 직접적으로 사용할 수도 있습니다. 그것은 보여줍니다$ \mathbb CP^n$ 몫은 $S^{2n+1}$ 의 행동으로 $S^1$. 사실,이 투영은 섬유화입니다. 그리고 여러분은 동모 토피 그룹의 긴 정확한 순서를 가지고 있습니다.$ \mathbb CP^n$. 를 참조하십시오 여기 .