기능은 사소한 endomorphism
나는 다음과 같은 표현 이론에 관한 교과서를 읽고 있습니다.
$G$ 환원 할 수없는 표현을 가진 유한 그룹입니다. $\rho:G\to GL(V)$ 필드 위에 $k$ (아마도 대수적으로 닫 혔을 수 있으며, 모든 필드가 대수적으로 닫혀 있다는 가정이 있지만 확실하지 않은 것은 책의이 페이지로 확장됩니다). $\phi$ 클래스 함수입니다 $G$ ...에 $k$ 만족스러운 $(\phi,\chi_\rho)=0$. 밝히다$$T=\frac{1}{\#G}\sum\limits_{g\in G}\phi(g^{-1})\rho_g.$$ 텍스트는 다음과 같이 주장합니다. $T=0$. 나는 이것을 보는 방법을 잘 모르겠습니다. 나는 이유를 본다$T\in End_GV$, 그래서 만약 $k$ 대수적으로 닫히면 다음과 같은 요소로 식별 할 수 있습니다. $k$ (그리고 상관없이 $End_GV$ Schur의 기본형에 의한 분할 링), 그러나 이유를 모르겠습니다. $T$ 반드시 $0$.
내가 여기서 놓친 것이 있습니까? 미리 감사드립니다.
답변
나는 당신이 특성 제로에 있다고 가정합니다.
당신이 말한대로, $T$ 스칼라 행렬 (Schur의 기본형)입니다.
흔적 $T$ 이다 $$\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\textrm{Tr}(\rho_g)=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\chi_\rho(g)=(\phi,\chi_\rho)=0.$$ 같이 $T=\lambda I$ 그리고 트레이스 제로를 가지면 $\lambda=0$.
가정 $T=aI$ ID 맵의 스칼라 배수입니다.
추적 수율 $\mathrm{tr}(T)=(\dim V)a=(\phi,\chi)=0$, 그래서 $a=0$.
(나는 가정한다 $\dim V$ 베이스 필드에서 반전이 가능합니다.)