기능적으로 대칭 행렬은 그것이 나타내는 선형 변환에 대해 무엇을 말합니까?

Dec 24 2020

나는 대칭 행렬의 구성 요소가 어떻게 관련되어 있는지에 대한 정의를 이해합니다. 그러나 기능적으로는 그것이 나타내는 선형 변환에 대해 무엇을 수반합니까? 예를 들어 블록 삼중 대각 행렬은 항목간에 특별한 관계가 있지만 기능적으로는 일부 중요하지 않은 벡터 부분 공간이 특정 기저에 대한 선형 변환에서 불변함을 알려줍니다. 덧붙여서, 왜곡 대칭 행렬은 기능적으로 무엇을 나타 냅니까?

답변

BenGrossmann Dec 24 2020 at 23:21

질문에 대한 의견 (및 링크 된 토론)에서 다음과 같이 주장합니다.

$M$ 다음과 같은 경우에만 적어도 하나의 (경사) 기저 선택에 대해 대칭입니다. $M$ 실제 고유 값으로 대각화할 수 있습니다. $M$ 다음과 같은 경우에만 적어도 하나의 기준 선택에 대해 왜곡 대칭입니다. $M$ 척도의 직접 합계입니다. $90^\circ $ 회전 및 제로 변환.

첫째, 대칭 케이스입니다. 만약$M$ 대칭이면 스펙트럼 정리에 따르면 $M$실제 고유 값으로 대각화할 수 있습니다. 반대로$M$ 실제 고유 값으로 대각화할 수있는 경우, 행렬의 상대적인 기저가 있습니다. $M$실제 대각선 항목이있는 대각선입니다. 이 대각 행렬은 대칭이기 때문에$M$ 이 기준 선택에 대해 대칭입니다.

경우를 위해 $M$왜곡 대칭이며 두 가지 일반적인 접근 방식이 있습니다. 쉬운 방향 : if$M$ 직접 합계 $90^\circ$ 회전 및 제로 변환, 다음 행렬의 상대적인 기준이 있습니다. $M$ 블록 대각선으로 기울이기 대칭 행렬입니다. $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$그 반대에는 두 가지 접근 방식이 있습니다. 하나는 본질적으로 에르 미트 행렬에 대한 스펙트럼 정리 를 적용 하는 것입니다.$M$ 비대칭이고 복잡한 행렬 $iM$Hermitian입니다. 또는 우리는 체계적으로$M$이 게시물에 설명 된 블록 대각선 형태 와 그 안에 연결된 증거가 있습니다.