기울기 함수의 편미분

Question

나는이 기본적인 질문을하는 것이 부끄럽지만 여전히 헷갈 린다.

주어진 기능 $f \in C^2$, 표시 $g:=\text{grad} \, f$ 이다 $C^1$ 함수.

나는 우리가 1 차 편도 함수를 보여야한다는 것을 이해합니다. $g$ 존재하고 연속적이지만 $g : U \to \mathbb{R}^n$ 벡터 값 함수입니다. 1 차 편도 함수를 어떻게 알아낼 수 있습니까?

편집 : 나는 사슬 규칙을 적용하려고 노력했고 그것을 추론했다 $$D_1(g\circ f)(x)=D_1 D_{1}^2f + \dots + D_1 D_{n}^2f$$ 이후 $f$ 이다 $C^2$ 함수, 2 차 미분 $f$ 연속적이고 따라서 1 차 도함수 $g$또한 연속적입니다. 나는 올바른 길을 가고 있는가?

Answer 1

첫째, $g$ 구성 요소가있을 때 정확하게 구별 할 수 있으므로 각 구성 요소를 고려할 수 있습니다. $g$개별적으로. 고려해 봅시다$i$th 구성 요소 $$ g_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}. $$ 지금 $f$두 배로 미분 할 수 있으므로 오른쪽을, 확장하면 왼쪽을 구별 할 수 있습니다. 도함수에 대한 표현$g_i$ 이다 $$ \frac{\partial g_i}{\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} $$