공간을 덮는 질문
이 진술은 Bredon의 토폴로지 및 기하학에 있습니다.
다음 문장을 보여 드리고 싶습니다.
허락하다 $p_i:W_i\to Y, i=1,2$ 지도를 덮고있다 $W_1$ 단순히 연결되어 있고 $w_i\in W_i$ 과 $y\in Y$ 그렇게 될 $p_i(w_i)=y$. 그렇다면 독특한지도가 있습니다$g:W_1\to W_2$ 그런 $g(w_1)=w_2$ 과 $p_2\circ g=p_1$. 모 레버,$g$ 커버링 맵입니다.
이 책은 진술이이 Lemma에서 나온다고 말합니다.
정리. 허락하다$W$연결됩니다. 허락하다$p:X\to Y$ 커버링 맵이고 $f:W\to Y$지도. 허락하다$g_1$ 과 $g_2$ 지도가되다 $W\to X$ 둘 다 리프팅 $f$. 만약$g_1(w)=g_2(w)$ 어느 정도 $w\in W$ 그때 $g_1\equiv g_2$.
보조 정리는 리프트의 존재를 가정했습니다. 그래서 저는 기본형을 사용하여$g$그러나 나는 존재를 모른다. 나는 리프트의 존재에 대한 일반적인 리프팅 기준에 대해 생각했지만 우리는$W_1$로컬 경로 연결입니다. 그래서 저는 여기서 단순히 연결이 어떻게 작동하는지 모르겠습니다. 도움이나 아이디어가 있습니까? 미리 감사드립니다.
답변
Bredon의 책에서 "Covering Spaces"장은
이 섹션에서 고려할 공간은 모두 Hausdorff, 원호 연결 및 로컬 원호 연결입니다.
나는 브레 돈이 진술 (추론 4.5)이 Lemma 4.4에서 직접 뒤따른다고 말할 때 틀렸다고 생각합니다. 대신 그것은 추론 4.2에서 따릅니다. 이 결과는지도가$p_1 : (W_1,w_1) \to (Y,y)$ 독특한 리프트가 있습니다 $g : (W_1,w_1) \to (W_2,w_2)$. 이것은$p_2 \circ g = p_1$.
그것을 보여주는 것은 남아 있습니다 $g$커버링 맵입니다. Bredon은 이것이 커버링 맵의 정의에서 간단한 연습이라고 주장합니다. 정말 간단 하다고는 말할 수 없습니다 .
우리는 먼저 $g$추측입니다. 허락하다$z_2 \in W_2$. 아무거나 선택$z_1 \in W_1$. 이후$W_2$ 호로 연결되어 있고 경로가 있습니다. $u : I \to W_2$ 그런 $u(0) = g(z_1)$ 과 $u(1) = z_2$. 경로$p_2 \circ u : I \to Y$ 시작 $p_2(u(0)) = p_2(g(z_1)) = p_1(z_1)$ 따라서 고유 한 리프트가 있습니다. $v : I \to W_1$ 그런 $v(0) =z_1$. 그때$g \circ v : I \to W_2$ 시작 $g(v(0)) = g(z_1)$. 우리는$p_2 \circ g \circ v = p_1 \circ v = p_2 \circ u$. 그러므로$u$ 과 $g \circ v$ 리프트입니다 $p_2 \circ u$ 둘 다에서 시작 $g(z_1)$. 그러므로$u = g \circ v$ 과 $z_2 = u(1) = g(v(1)) \in g(W_1)$. 의 surjectivity$g$ 각각에 대해 의미 $M \subset Y$ $$g(p_1^{-1}(M)) = p_2^{-1}(M). \tag{1}$$
다음으로 각각 $z_2 \in W_2$균등하게 덮여있는 열린 아치형으로 연결된 이웃이 있습니다. 허락하다$V_1$ 과 $V_2$ 열린 아크로 연결된 이웃 $p_2(z_2)$ 에 $Y$ 균등하게 덮는 $p_1$ 그리고 $p_2$. 열린 아치형으로 연결된 이웃이 있습니다.$V$ 의 $p_2(z_2)$ 에 $Y$ 그런 $V \subset V_1 \cap V_2$. 세트$V$ 둘 다에 의해 균등하게 덮여 $p_1$ 과 $p_2$. 쓰다$p_i^{-1}(V) = \bigcup_{\alpha_i \in A_i} U_{i,\alpha_i}$ 쌍으로 분리 된 개방 $U_{i,\alpha_i} \subset W_i$ 제한이 $p_{i,\alpha_i} : U_{i,\alpha_i} \stackrel{p_i}{\to} V$동종 성입니다. 따라서 모두$U_{i,\alpha_i} $아크 방향으로 연결됩니다. 이후$g$ 연속적입니다. $g(U_{1,\alpha_1})$ 아크 방향으로 연결되어 있으므로 고유 한 $U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$(아크 방향으로 연결된 열린 세트의 분리 된 결합에 포함되어 있으므로이 세트 중 하나만 교차 할 수 있습니다.) 쓰다$g_{\alpha_1} : U_{1,\alpha_1} \stackrel{g}{\to} U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$. 우리는$p_{2,\phi_g(\alpha_1)} \circ g_{\alpha_1} = p_{1,\alpha_1}$, 그 후 $g_{\alpha_1} = p_{2,\phi_g(\alpha_1)}^{-1} \circ p_{1,\alpha_1}$ 그것은 그것을 보여줍니다 $g_{\alpha_1}$동 종파입니다. 함수$\phi_g : A_1 \to A_2$ 에 의해 추측되어야합니다 $(1)$.
지금 $z_2$ 고유 한 $U_{2,\bar \alpha_2}$. 허락하다$A' = \phi_g^{-1}(\bar \alpha_2)$. 그때$g^{-1}(U_{2,\bar \alpha_2}) = \bigcup_{\alpha_1 \in A'} U_{1, \alpha_1}$ 그것은 그것을 보여줍니다 $U_{2,\bar \alpha_2}$ 균등하게 덮여있다 $g$.