고유 값 $A^{2018}$

Question

고유 값과 고유 벡터 구하기 $A^{2018}$. $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

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내 솔루션 :

먼저, 두 번째 행에서 첫 번째 행에 세 번을 빼면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. $$ A\approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

우리는 상위 삼각 행렬을 얻었으므로 특성 다항식은 다음과 같습니다. $$ \chi_{A^{2018}}(\lambda)=det (\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{2018}-\lambda I)=(1^{2018}-\lambda)((-8)^{2018}-\lambda)(4^{2018}-\lambda) $$

따라서 고유 값 집합은 다음과 같습니다. $\{1,4^{2018},8^{2018},\}$.

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이것이 올바른 해결책인지 확인하고 그렇지 않은 경우 올바른 해결책을 찾도록 도와주세요.

Answer 1

당신의 matirx는 상대적으로 쉬운 (대칭) 행렬과 전능 한 행렬의 합이며 이러한 통근입니다. $N$ 한 쌍을 제외하고는 0입니다. $4$ 위치에 $(1,3)$ 과 $(2,3).$ 대칭형이라고 불러 $S$멋지게 대각선으로 만들 수 있습니다. 그들이 출퇴근하기 때문에$$ (S + N)^{2018} = S^{2018} + 2018 S^{2017} N. $$ 그 이후로 멈춘다 $N^2 = 0.$

방금 짐작했는데 필요한 건 명시 적입니다 $P^{-1} S P = D.$ 꼭 필요한 것은 아닙니다. $P$직교합니다. 사실 내가하는 일은

$$ P^T S P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) $$

어디 $PP^T = P^TP = I$

$ P^T S P = D $ 그래서 $S = PDP^T.$ 그러므로 $S^{n} = P D^n P^T$ 모든 $n \geq 1$

그만큼 $S+N$Jordan Chevalley 분해라고 불리며 때로는 Jordan 표준 형식보다 훨씬 쉽습니다. 이번에는 크게 다르지 않습니다

Answer 2

힌트 : 특성 다항식은 다음과 같습니다. $c_A(x)=(x-4)((x-1)^2-9)=(x-4)^2(x+2)$.

Jordan 정규형이 다음과 같은지 확인할 수 있습니다. $B=\begin{pmatrix} 4&1&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$.

그때 $A^n$ 비슷하다 $B^n$.

그러나 $B^n=\begin{pmatrix}4^n&4+2\cdot4^n&0\\0&4^n&0\\0&0&(-2)^n\end{pmatrix}$.

따라서 우리는 $\{4^n,(-2)^n\}$ 고유 값으로.