국가 확장

Question

허락하다 $X$ 로컬로 컴팩트 한 Hausdorff 공간이어야하며 $Y$ 다음의 조밀 한 부분 공간입니다. $X$. 허락하다$\phi$ 상태가되다 $C(Y)$. 그런 다음 우리는$\phi$ ...에 $C_0(X)$? 만약$T:f \mapsto f|_X$ 동형은 $C_0(X)$ ...에 $C(Y)$, 그러면지도가 $\tilde{\phi}=\phi\circ T$ 상태가되다 $C_0(X)$?

Answer 1

좋아요, 저는 이것이 사실이라고 생각합니다. 내 의견에 따라이 기능이 표준 1인지 확인하면됩니다. 긍정 성은 차례로 다음과 같습니다.$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = \|\tilde{\phi}\|$ 일부 (또는 임의의) 대략적인 단위 $(e_\lambda)$ ...에 대한 $C_0(X)$. 이를 해결하기 위해 대략적인 단위를 찾아 보겠습니다.$(e_\lambda)$ 만족하는 $\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = 1$.

C * -algebras (https://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra#Commutative_C*-algebras), 대략적인 단위가 있습니다 $(f_K)$, 압축 하위 집합으로 색인화 됨 $K \subseteq X$ 어떤 $f_K|K = 1$(댓글의 Tietze 확장 / 링크). 이 아이디어를 염두에두고 그물을 만드는 것은 어렵지 않습니다.$(f_K)$, 압축 하위 집합으로 색인화 됨 $K \subseteq X$ 포함하는 $Y$, 그런 $f_K|_K = 1$. 이것은 우리가 원하는 대략적인 단위입니다.$$ \lim_K \tilde{\phi}(f_K) = \lim_K \phi \circ T(f_K) = \lim_K \phi(f_K|_Y) = \lim_K 1 = 1. $$