결과 $\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$

Question

$$\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$$

이 통합은 다른 접근 방식으로 답을 얻을 수 있기 때문에 모호하다는 것을 알았습니다. 이 답변이 타당하고 사실입니까? 누군가가 왜 그리고 어떻게 말해 줄 수 있습니까? 또한 내가 사용하는 두 가지 방법이 동일한 값 / 답변을 제공한다는 증거가 있습니까?

여기 내가 일하는 방법, 내가 틀렸다면 나를 수정하십시오

첫 번째 방법 :

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\sin x \cdot \sin^2x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int{\sin x (1 - \cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \displaystyle\int{(\sin x - \sin x\cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C \end{align}

두 번째 방법 :

첫째, 우리는 $$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$$

따라서, $$\sin^3x = \dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x$$

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\left(\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x\right)}\,\mathrm{d}x\\ & = \frac{1}{12}\cos 3x - \frac{3}{4}\cos x + C \end{align}

Answer 1

$$\cos 3x =4\cos^3x -3\cos x$$ 그래서, $$\frac{1}{12}\color{green}{\cos 3x} - \frac{3}{4}\cos x=\frac{1}{12}(\color{green}{4\cos^3x -3\cos x})-\frac{3}{4}\cos x$$ $$=\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x$$

따라서 두 답변은 동일합니다.

Answer 2

예, 그들은 유효하고 사실입니다. 사실은,$$(\forall x\in\Bbb R):\frac13\cos^3(x)-\cos(x)=\frac1{12}\cos(3x)-\frac34\cos(x)$$이후$$(\forall x\in\Bbb R):\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x).$$

Answer 3

이후 $$\cos^3(x)=\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$$

첫 번째 적분은 $$\int \sin^3(x)dx=\dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C$$ $$=\frac{1}{3}\big[\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)\big]-\cos(x)+C$$ $$=\frac{1}{12}\cos(3x)-\frac{3}{4}\cos(x)+C$$

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적분 상수가 반드시 동일하지는 않습니다. 예를 들어$u$-우리가 가지고있는 분모에 대한 대체 $$\int \frac{4x}{4x^2+7}dx=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}$$

$$\int \frac{x}{x^2+\frac{7}{4}}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}$$

여기 우리는 $C_{2}=C_{1}+\frac{1}{2}\ln(4)$상수이기 때문입니다. 실제로 우리는$$\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+\frac{1}{2}\ln(4)+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\big[\ln(x^2+\frac{7}{4})+\ln(4)\big]+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4(x^2+\frac{7}{4}))+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}.$$