Hermite 다항식 생성 함수

Question

Hermite 다항식 측면에서 다음 다항식을 어떻게 작성합니까? $H_n(z)$? \ begin {equation} P_n (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {[n / 2]} \ frac {n! a ^ k} {k! (n-2k)!} (2a z) ^ { (n-2k)} \ end {equation} 알아 차 렸습니다$H_n(iaz)$ 가까이 보이지만 $a^k$ 요인은 수수께끼입니다.

이 표현식은 \ begin {equation} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {-ax ^ 2} \ end {equation} 의 Taylor 급수의 급수 전개에서 얻 습니다. 에서 찾을 수있다 {- AX ^ m} \ {식 단부} \ {는 식} \ {FRAC D ^ {N} ^ DX N} ^ E 시작$m=2,3,\dots$?

Answer 1

원하는 $a^{k+n-2k}=a^{n-k}$ 그래서 만약 당신이 논쟁을한다면 $(-a)^{n/2}$ 그 요소를 곱하면 $$(-a)^{n/2}H_n((-a)^{1/2}\cdot z)=(-a)^{n/2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2\sqrt{-a}\cdot z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{\frac{2n-2k}{2}}$$ $$=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{n-2k+k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(-2az)^{n-2k}(-a)^k=P_n(-z).$$ 그래서 $P_n(z)=(-a)^{n/2}H_n(-(-a)^{n/2}z).$