Hull White Extended Vasicek 모델

Question

저는 Hull & White의 "Pricing Interest Rate Derivative Securities"(1990)의 획기적인 논문의 공식을 이해하려고합니다. 6 페이지 (아래 참조)에서 (11)을 재 배열하고 경계 조건을 적용하면 (13)이 어떻게 나타나는지 알 수 없습니다.

저의 기초적인 미적분에 잘못이 있다면 제게 포인터와 사과를 주시겠습니까?

Answer 1

맞습니다, 방정식 (11)은 (7)에서 기계적으로 파생됩니다 (미분 wrt를 $T$그리고 결합은 (7))이고, 어떻게 든 그들은 (7) 을 기억 하지 않고 (11)에서 (13)을 얻을 수 있다고 생각합니다 . 스마트하게 통합하여 (예를 들어$B_tB_T - BB_{tT}$ 미분 wrt의 분자입니다. $t$ 분수의 $B/B_T$) 경계 조건을 사용하고 있습니다 (나는 그것을 알아낼 수 없었습니다).

물론, 우리가 할 수있는 것은 다음의 1 차 선형 방정식을 푸는 것 입니다.$t$ (7)

$$ B_t = a(t)B-1. $$

일반적인 기본 함수 :

$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$

방정식 (7)에 대한 일반적인 해는 다음과 같습니다.

$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$

와 $c(T)$ 임의의 기능 $T$.

같이 $B(T,T)=0$, 우리는 다음이 있어야합니다.

$$c (T)= -\beta(T).$$

그래서:

$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

그러면이 솔루션이 다음 사항을 준수하는지 쉽게 확인할 수 있습니다 (13).

$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$

$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

편집 : (11)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ 이는 $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$

이 시점에서 우리는 오른쪽이 함수라는 것을 (7)에서 기억해야합니다. $t$ 뿐, $a(t)$그렇지 않으면 여기에서 진행하는 것이 번거 롭습니다. 해결책은$$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ ...에 대한 $ \gamma (T)$ 임의의 기능 $T$. wrt 통합$T$, 우리는 다음을 얻습니다.

$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ ...에 대한 $ \eta (t)$ 임의의 기능 $t$ 과 $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$.

경계 조건 $B(T,T)=0$ 그런 다음 강제 :

$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$

그래서,

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

다시 한 번

$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

(7) 다음을 의미합니다.

$$\eta(t) = \beta(t). $$