확률 질문의 수렴.

Question

허락하다 $\lambda_n = 1/n$ ...에 대한 $n=1,2,\ldots$. 허락하다$X_n \sim Poi(\lambda_n)$. a)$X_n \rightarrow_P 0$. b)하자$Y_n = nX_n$. 보여줘$Y_n \rightarrow_P 0$ (어디 $\rightarrow_{P}$ 확률의 수렴을 나타냄)

파트 a)는 우리가 알고 있듯이 비교적 간단합니다. $\mathbb{E}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ 과 $\mathrm{var}(X_n) = \lambda_n = 1/n$. 우리는 그 이후로$X_n >0$ 그 $|X_n| = X_n$. 그런 다음 Chebyshevs 불평등에서 우리는$$P(X_n >\epsilon) \leq \frac{\mathrm{var}(X_n)^2}{\epsilon^2} = \frac{1}{n^2\epsilon^2} \rightarrow 0\;\mathrm{as\;}n \rightarrow \infty. $$

파트 b)의 경우 다음과 같은 접근 방식을 사용할 수 없습니다. $\mathbb{var}(Y_n) = n^2*1/n = n$. 또한 2 차 평균의 수렴은 확률의 수렴을 의미하지만$\mathbb{E}(Y_n - 0)^2 = n^2(\mathbb{E}(X_n^2)) = n^2(1/n + 1/n^2) \not \rightarrow \infty$ 같이 $n \rightarrow \infty$. 어떤 아이디어?

Answer 1

특성 기능에 익숙하지 않은 경우 (아직), $$P(nX_{n}=0)=P(X_{n}=0)=e^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 $$ 푸 아송 분포는 값이 다음과 같은 이산 분포이기 때문에 $\mathbb{N} \cup \{0\}$

Answer 2

증명하는 한 가지 방법은 $nX_n \to 0$확률 적으로 특성 함수를 사용하는 것입니다. 기억하세요$Ee^{itX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{it})}$. 그 후$Ee^{itnX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{int})} \to 1$ 같이 $ n \to \infty$. 이것은$nX_n \to 0$ 확률의 수렴에 해당하는 분포에서.