이 원의 중심을 얻는 방법

Question

나는 이제 말로 설명하기가 어렵 기 때문에 지난 게시물에서 문제를 지나치게 단순화했다는 것을 깨달았습니다.

이것이 제가 일주일 이상 싸우고있는 원래 문제입니다.

그림

원점에서 시작된 두 줄이 있습니다. 대각선에 대한 각 선의 각도는 동일하며 알려져 있습니다. 원은 대각선 중심에 있으며 선 사이에 원의 90도 호만 그려집니다. 원호에는 좌표가 알려진 점 P가 있습니다. 원의 치수와 위치는 알려져 있지 않습니다. 알려진 유일한 것은 점 P가 호 위에 있고 호는 중심이 대각선에있는 원의 90도 세그먼트라는 것입니다.

원의 좌표를 어떻게 찾을 수 있습니까?

Answer 1

좋은 사진과의 표기법 재사용 AugSB 것은 , 당신은

$$\begin{cases} c_x &= (r+c_x)\tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2 \end{cases}$$

같이 $c_x=c_y=u_y$ 그리고 각도 $A$ 라디안으로 표시됩니다.

다음과 같습니다.

$$\begin{cases} r &=c_x \frac{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)}\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2 \end{cases}$$

$A$주어진다. 교체$r$ 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식으로 2 차 방정식을 얻습니다. $c_x$ 유일하게 알려지지 않은 $p_x, p_y$알려져 있습니다. 그것을 해결하면 원하는 센터를 얻을 수 있습니다.$C=(c_x,c_x)$.

Answer 2

먼저 모든 요소를 ​​식별하겠습니다.

• 대각선 $d$ 라인입니다 $y=x$.
• 요점 $P$ 좌표가있다 $(p_x,p_y)$.
• 각도는 선으로 정의됩니다. $r_A : y=ax$ 과 $r_B:y=bx$.
• 원이 선과 교차합니다. $r_A$ 과 $r_B$ 포인트 $T : (t_x, t_y)$ 과 $U : (u_x,u_y)$ 각각 두 개의 교차점이 더 있지만 검사를 통해 폐기 할 수 있어야합니다.
• 센터를 찾아야합니다 $C: (c_x,c_y)$ 그리고 반경 $r$ 방정식이있는 원의 $$(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2 = r^2$$

이제 정당화해야 할 몇 가지 핵심 사항이 있습니다.

• 대각선에 대한 각도가 같으므로 $b=1/a$. 각도를 사용하여 a의 값을 추론하십시오.
• 중심이 대각선에 있으므로 $c_x=c_y$.
• $d$ 선 사이 각도의 이등분선 $r_A$ 과 $r_B$. 그 속성을 사용하여$(t_x,t_y)=(c_x,c_x+r)$ 과 $(u_x,u_y)=(c_x+r,c_x)$.

마지막으로 선 방정식에서 좌표를 대체합니다. $r_A$, $r_B$ 원의 값을 추론 할 수 있어야합니다. $c_x$, $c_y$ 과 $r$ 측면에서 $a$, $p_x$ 과 $p_y$.

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세부 단계 :

1. 기울기 $r_A$ 수평축에 대한 천사의 접선으로 주어집니다. $$a=\tan(\frac{\pi}{4} + A),$$ 어디 $A$ 사이의 각도입니다 $d$ 과 $r_A$. 유사하게, 기울기$r_B$ 이다 $$b=\frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4} + A)} = \tan(\frac{\pi}{4} - A).$$
2. 센터 이후 $(c_x,c_y)$ 거짓말 $d$ (방정식 $y=x$) 그런 다음 명확하게 $c_x=c_y$.
3. 포인트 $d$ 등거리 $r_A$ 과 $r_B$ 때문에 $d$각도 이등분입니다. 게다가,$\triangle TCU$ 직사각형 및 이등변 삼각형이어야합니다 (다리 길이 $r$). 그래서 이것이 가능한 유일한 방법은$\overline{TC}$ 수직축에 평행합니다. $t_x=c_x$) 및 $\overline{UC}$ 수평축에 평행합니다 (즉, $u_y=c_y=c_x$).
4. 또한 $T$ 과 $U$ 원 위에 있기 때문에 거리는 $C$ 이다 $r$. 따라서,$t_y=c_x+r$ 과 $u_x=c_y+r$.
5. 모든 이전 단계를 고려하여 $T$ 둘 다에 거짓말 $r_A$ 원의 좌표는 두 방정식을 모두 충족해야합니다. $$\begin{cases} c_x + r &= c_x \tan(\frac{\pi}{4} + A),\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2. \end{cases}$$
6. 마지막으로 다음을 해결해야합니다. $r$ 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식으로 바꿉니다. $$(p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 = \left(c_x \tan(\frac{\pi}{4} + A) - c_x\right)^2.$$ 이 식을 확장하여 2 차 방정식을 얻습니다. $c_x$쉽게 풀 수 있어야합니다 ( 2 차 공식 참조 ).$p_x$ 과 $p_y$. 나머지 값은 다음을 대체하여 얻을 수 있습니다.$c_x$ 그 가치로.

Answer 3

직선와 나침반 건설

대수를 마치고 다시 기하학으로 돌아 갑시다. 다음은 Straightedge 및 나침반 구조 입니다.

구성은 다음과 같은 기본 아이디어에서 비롯됩니다.

• 호 를 만드는 것은 쉽습니다 $A_0$ 모든 필수 속성을 가지고 있습니다. $P$.
• 이러한 호에서 원하는 호는 동질 변환 에서 이전 호의 이미지로 얻은 호입니다. $T$.
• 동질성 $T$ 중심을 원점으로하는 것 $O$ 그리고 그 변형 $P_0$ 으로 $P$.
• 어디 $P_0$ 호 사이의 교차점 $A_0$ 그리고 라인 $(O, P)$.

이를 바탕으로 중앙 $C$ 원하는 호의 $A$ 평행선의 교차점 $(C_0, P_0)$ 통과 $P$ 주 대각선으로.

아래 그림을 참조하십시오.

Geogebra 파일