이다 $S^1$ 원뿔 $D^2$?

Question

허락하다 $X$ 위상 공간이되자 $Y=X \times [0,1]$ 과 $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. X의 원뿔은 공간입니다.$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

이제 $X=S^1$, 내 목표는 콘이 $X$ 동종이다 $D^2$, 어디 $D^2$ 단일 폐쇄 디스크입니다 $\Bbb R^2$. 기본적으로이 원뿔은 원통에서 아래쪽베이스를 한 지점으로 수축시켜 얻습니다.

극좌표를 사용하여지도를 만들 수 있습니다. $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ ~로써 정의 된 $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
이지도는 연속적이고, 주입 적이며, 추측 적입니다. 그러나 그것이 동종 성임을 증명하는 방법은 무엇입니까?

Answer 1

보여주기 위해 $f$ 콤팩트 함을 사용하지 않고 동종 이형입니다. $f$즉 $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ 대괄호는 등가 클래스를 나타냅니다. $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ 각 값은 숫자로 간주됩니다 (mod $2\pi$), 따라서 $S^1$.

연속성 $g$ 따라를 제외하고 모든 곳에서 꽤 명확합니다 $y$-중심선. 이를 위해서는$g^{-1}(U)$ 언제든지 열려 있습니다 $U$ 몫에 열린 집합을 설명하는 방법을 적어 두는 것을 의미합니다. 목에 통증이 있습니다.하지만 그렇게해도 좋습니다.