이다 $X/R$ 동종의 $\mathbb R$?

Question

고려하십시오 $X=\mathbb R\times (0, +\infty)$ 유도 된 토폴로지 부여 $\mathbb R^2$. 에$X$ 등가 관계를 정의합니다.

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\iff x_1=x_2.$$

몫이 사실입니까? $X/R$ 동종이다 $\mathbb R$?

우리가 정의한다면 $f: X\rightarrow \mathbb R$ 환경 $f(x, y)=x$ 그때

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\implies f(x_1, y_1)=x_1=x_2=f(x_2, y_2)$$

그래서 $f$ 몫으로 내려 가다 $\widehat{f}: X/R\rightarrow \mathbb R$ 으로 $$\widehat{f}([x, y])=x.$$

이지도 $f$ 연속적이기 때문에 $\mathcal{U}$ 열려있다 $\mathbb R$ 그때

$$f^{-1}(\mathcal{U})=\mathcal{U}\times (0, +\infty)$$ 열려있다 $X$. 이것은 의미$\widehat{f}$연속적입니다. 분명히$\widehat{f}$ 하지만 동종 모형이라는 것을 보여주기 위해 논쟁을 끝낼 수는 없습니다.

감사.

Answer 1

당신은 올바른 아이디어를 가지고 있지만 개방성을 확인하기 위해 우리는 $X/R$ are : 정확히 모든 세트로 구성됩니다. $U\subseteq X/R$ 등가 클래스에 대한 투영의 사전 이미지가 $X\to X/R$ 열려 있습니다.

사전 이미지는 세트별로 정확하게 제공됩니다. $S\subseteq X$ 이 등가 관계에 따라 닫힙니다. $s\in S$, 다음마다 $s'$ 와 $sRs'$S에도 있어야합니다. 즉, 동등한 클래스의 합집합 (분할 된 경우도 있음)이어야합니다. 이 경우 등가 클래스는 다음과 같은 형식입니다.$\{x\}\times (0,\infty)$. 따라서 S는 다음 형식이어야합니다.$\mathcal S\times (0,\infty)$.

제품 토폴로지의 정의에 따라 이것은 $X$ 경우에만 $\mathcal S\subseteq \mathbb R$ 열려 있습니다.

따라서지도 $\hat f\colon X/R\to \mathbb R$ 취득 $[(x,y)]=\{x\}\times (0,\infty)$ ...에 $x$ 오픈 세트를 매핑 $\mathcal U\times (0,\infty)$ 오픈 세트로 $\mathcal U$, 완료되었습니다.