작업자의 소형화 조건

Question

허락하다 $A$ ONB를 사용하여 Hilbert 공간에서 경계 연산자 $\{e_n\}_n$. 정확한 조건을 찾고 있습니다.$\langle e_n, A e_m \rangle$ 그것을 보장하기 위해 $A$콤팩트합니다 (예 : 유한 순위 연산자의 한계). 그것은 알려져있다$A$ 다음과 같은 경우 추적 클래스입니다. $$ \sum_{m} \sum_n|\langle e_n, A e_m \rangle| < \infty $$추적 클래스 연산자는 압축 내에 있습니다. 그러나 만약$A$추적 클래스가 아닙니까? 만약$A$ 우리는 충분하고 필요한 조건이 $$\langle e_n, A e_n \rangle\to 0 \qquad( n\to\infty)\,.$$

그러나 만약 $A$대각선이 아니야? 붕괴에 대한 기준이 있습니까?$\langle e_n, A e_m \rangle$?

Answer 1

에 대한 $m\geq n$, 허락하다 $A^{m, n}$ 될 $m\times m$ 주어진 행렬

$$ A^{m, n}_{i, j} = \left\{\matrix{ 0, & \text{if } i, j\leq n, \cr \langle e_i, Ae_j\rangle , & \text{otherwise}. } \right. $$ 예를 들면 $$ A^{3,2} = \pmatrix{ 0 & 0 &\langle e_1, Ae_3\rangle \cr 0 & 0 &\langle e_2, Ae_3\rangle \cr \langle e_3, Ae_1\rangle & \langle e_3, Ae_2\rangle & \langle e_3, Ae_3\rangle }. $$

정리 . 운영자$A$ 다음과 같은 경우에만 컴팩트합니다. $\lim_{m,n\to\infty} \|A^{m, n}\| =0$.

증거 . 허락하다$P_n$ 첫 번째 범위에 대한 직교 투영 $n$ 기본 벡터를 확인하고 $m\geq n$, 행렬 $$ P_mAP_m - P_nAP_n $$ 일치하다 $A^{m,n}$ 왼쪽 상단 내부 $m\times m$항목 블록이며 다른 모든 곳에 항목이 없습니다. 그것은 다음과 같습니다$$ \|A^{m, n}\| = \| P_mAP_m - P_nAP_n\|, $$ 따라서 성명서의 한도에 관한 조건은 $\{P_nAP_n\}_n$ 코시 시퀀스입니다.

완성 된 힐베르트 공간의 경계 연산자 공간 내에서 작업하고 있으므로 위 문장에서 "Cauchy"를 "converging"으로 대체 할 수 있습니다.

이 조건이 참이라고 가정하면 $P_nAP_n$ 수렴하면 한계 연산자는 다음과 같은 행렬을가집니다. $A$ (나는 우리가 첫 번째 변수에서 켤레 선형 인 Physicist의 내부 곱을 사용한다고 가정하고 있습니다), 따라서 $A$. 다시 말해$$ \lim_nP_nAP_n = A. $$ 이후 $P_nAP_n$ 유한 계급이므로 컴팩트하고 컴팩트 연산자의 공간이 닫히기 때문에 다음과 같습니다. $A$컴팩트합니다. 이것은 "if"부분을 증명합니다. "만약"부분에 관해서는$A$컴팩트합니다. 그것을 사용하여$\{P_n\}_n$ 균일하게 경계가 지정되고 강력한 (점별) 토폴로지에서 ID 연산자로 수렴됩니다. $P_nAP_n$ 수렴 $A$ 일반적으로 $\{P_nAP_n\}_n$ 우리가 이미 성명서의 조건과 동일하다고 동의 한 코시 시퀀스입니다.

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비고 :

1. 이후 $A^{m, n}$ 유한 행렬이고, 그 규범은 (원칙적으로) 다음과 같이 계산할 수 있습니다. $\langle e_i, Ae_j\rangle $, 필요에 따라.

2. 유한 행렬의 규범을 계산하는 것은 어려운 수치 문제이므로이 기준은 OP만큼 유용하지 않을 수 있습니다.