잠재력 $A\,\nabla V$

Question

허락하다 $V:\mathbb R^n\to \mathbb R$ 부드럽게하자 $A$ 가역 실수 차원 행렬 $n\times n$. 다음 벡터 필드를 고려하십시오.$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^ n$, $$ F(x) \equiv A\,\nabla V(x) \,.$$ 몇 가지 조건을 결정할 수 있습니까? $A$ 그런 $F$ 잠재력이 있습니다. 즉 존재합니다. $U:\mathbb R^n\to \mathbb R$ 그런 $$ \nabla U(x) = F(x) \;\;?$$ 특히 나는 사건에 관심이 있습니다 $A$ 대각 행렬.

Answer 1

이것은 대각선의 경우에도 어쩔 수없이 거짓입니다. 다음은 두 가지 예입니다 (내 의견에 대한 후속 조치).

(1) 테이크 $V(x,y)=\frac12(x^2+y^2)$ 과 $A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}$. 그때$$A\nabla V = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y\\x\end{bmatrix}$$ 보수적이지 않습니다.

그러나 회전 행렬을 고수하고 $V$ 조화를 이루려면 $A\nabla V$ 다시 컬을 가질 것이다 $0$. 예를 들어$V(x,y)=\frac12(x^2-y^2)$, 우리는 $A\nabla V = \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix} = \nabla(xy)$. 여기서 고조파 공액을 얻는 것은 우연이 아닙니다.

(2) 테이크 $V(x,y) = xy$ 과 $A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$. 그때$$A\nabla V = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay\\bx\end{bmatrix}$$ 보수적이지 않다면 $a=b$.