자연에 대한 "공동 작은"토폴로지?
자연의 모든 하위 집합을 고려하십시오. $2^\Bbb{N}$. 우리는 하위 집합이라고 부릅니다.$A \subseteq \Bbb{N}$ 작은 경우$\sum_{a \in A} \frac{1}{a} < \infty$, 그렇지 않으면 크다 . 작은 하위 집합의 집합$\Bbb{N}$, $$X := \{ A \in 2^\Bbb{N}: A \text{ is small} \},$$임의의 교차점과 유한 결합 아래에서 닫힙니다. 이것은 우리가 토폴로지를 정의 할 수 있음을 의미합니다.$\Bbb{N}$ 다음과 같이 : 요소 호출 $U \in 2^{\Bbb{N}}$ 작은 경우$U^c := \Bbb{N} \setminus U$작다. 그런 다음 co-small 토폴로지$\Bbb{N}$ 사소하지 않은 오픈 세트 (즉, $\Bbb{N}$빈 세트)는 작은 세트입니다. 이것은 작은 집합 집합이 임의의 합집합과 유한 교차점에서 닫히기 때문에 토폴로지입니다. 이 토폴로지에서$\Bbb{N}$ 이다 $T_1$ (두 개의 다른 점에 대해 $a, b$ 이웃이있다 $a$ 분리하다 $b$ 반대의 경우도 마찬가지입니다. Hausdorff는 아닙니다 (두 개의 작은 집합이 공동 작은 교차점을 가지기 때문에 서로 다른 지점의 두 이웃 $a, b$중복됩니다). 유일한 컴팩트 세트$\Bbb{N}$이 토폴로지 아래에는 유한 집합이 있습니다. 하나,$\Bbb{N}$ 이 토폴로지에서는 불 연속적이지 않습니다 (1 점 세트는 공동 작을 수 없기 때문에).
질문 :
이 토폴로지에 대한 공식적인 이름이 있으며 문헌에서 연구되고 있습니까? 이다$\Bbb{N}$ 다른, 더 잘 알려 지거나 이해 된 공간에 동종인 co-small 토폴로지에서?
연속 기능은 무엇입니까 $\Bbb{N}$상수 함수 또는 식별 함수와 같은 사소한 예를 제외하고는 작은 토폴로지 아래에서 그 자체로 ? ( 에서 유일한 연속지도$\Bbb{N}$ 공동 소규모 토폴로지에서 $\Bbb{R}$일반적인 토폴로지에는 상수 기능이 있습니다. )
우리는 또한 생각할 수 있습니다 $\Bbb{N}$ 명백한 측정을 가진 이산 측정 공간으로 $$\mu(A) := \sum_{a \in A} \frac{1}{a}.$$모든 열린 세트에는 무한 측정 값이 있으며 유한 측정 값이있는 세트는 닫힙니다. 또한$2^\Bbb{N}$ 측정 가능하며 모든 기능은 $f: \Bbb{N} \to \Bbb{R}$ 또는 $\Bbb{C}$측정 가능합니다. 측정은 또한 좋은 방식으로 확장됩니다.$\mu(kA) = \frac{\mu(A)}{k},$ 어디 $kA := \{ ka: a \in A \}$. 이 척도를 정수론이나 조합론의 흥미로운 문제에 적용 할 수 있습니까? 지도의 에르 고딕 성을 증명하는 데 사용됩니까?
답변
지속적인 기능에 관하여 $\mathbb N$ 공동 소규모 토폴로지에서 자체적으로 :
지도 $f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ 상수이거나 큰 집합을 큰 집합에 매핑하는 경우에만 공동 소규모 토폴로지에서 연속적입니다.
추가 통지없이 다음 관찰 내용을 사용합니다.
- 작은 집합의 하위 집합은 작습니다. 대형 세트의 수퍼 세트는 큽니다.
- $\overline X=\mathbb N$ 모두를 위해 $X$.
- 공동 소형 세트는 큽니다.
위의 주장 증명을 살펴 보겠습니다. 물론이야,$f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ 다음 경우에만 연속적입니다. $f(\overline{X})\subset \overline{f(X)}$ 모든 $X\subset \mathbb N$. 만약$X$닫힙니다. 이것은 사소한 경우입니다. 만약$X$ 닫히지 않았습니다. 즉, 작거나 모두 $\mathbb N$, 다음 $\overline X= \mathbb N$ 그래서 조건 $f$ 연속되는 것은 모든 대규모 $X$ 우리는 가지고 있어야 $f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}$. 구별해야 할 두 가지 본질적으로 다른 경우가 있습니다.$f( \mathbb N)$ 작거나 아닙니다.
만약 $f(\mathbb N)$ 큽니다. $f$ 연속적으로 $\overline{f(X)}$큰 세트를 포함해야하므로 자체적으로 커야합니다. 하지만$f(X)$처음에는 컸을 것입니다. 반대로$f$ 큰 세트를 큰 세트로 매핑 한 다음 명확하게 $f(\mathbb N)\subset \mathbb N=\overline{f(X)}$, 바라는대로.
만약 $f( \mathbb N)$ 작 으면 각각 $f(X)$; 그러므로,$f(X)=f(\mathbb N)$ 모든 대형 $X$, for $f(X)\subset f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}=f(X)$. 나는 그것이 가능하다고 주장한다.$f$ 일정합니다.
사실,하자 $m\in f(\mathbb N)$임의적입니다. 이후$\{m\}$작고 닫혀 있습니다. 따라서,$f^{-1}m$ 닫혀 있으므로 작거나 모두 $\mathbb N$. 후자의 경우는$f$일정합니다. 이전 사례를 배제하는 것은 남아 있습니다.$f^{-1}m$ 작았는데 $X=\mathbb N-f^{-1}m$ 공동으로 작기 때문에 크고 만족스러운 $f(X)=f(\mathbb N)-m\subsetneq f(\mathbb N)$, 모순. 이것으로 증명이 완료되었습니다.
1. 질문과 3. 질문에 대해 전혀 모릅니다.