적분 값

Question

다음 적분의 값을 확인해야합니다. $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ 적분 (요인 $4n(n-1)$) 포함)에 대한 특정 확률 변수의 pdf입니다. $n\geq 3$그래서 나는 1이 될 것으로 기대합니다. 누군가가 그것을 MATHEMATICA와 같은 컴퓨터 대수 시스템에 친절하게 넣을 수 있다면, 나는 가장 의무가 될 것입니다. CAS 소프트웨어에 대한 액세스 권한이 없습니다.

추신 :-저는 무료 CAS 소프트웨어를 모릅니다. 누군가가 있다면 공유 해주세요

Answer 1

적분은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} 부품으로 통합하면 $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ 따라서, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS 기호 계산에 SageMath 및 WolframAlpha 를 사용할 수 있습니다 . 둘 다 무료입니다.

Answer 2

당신의 추측이 사실 인 것 같습니다. Mathematica는 결과를 제공합니다$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ 불완전한 베타 함수의 관점에서 임의의 정수를 입력 $\geq 3$ 항상 1을 산출합니다 (나는 Mathematica가 임의의 결과에 대한 일반적인 결과를 뱉어 내도록 관리하지 않았습니다. $n$).

Answer 3

CoCalc 를 사용할 수 있습니다 . 예를 들어, 입력 integral(x^2,x)하고1/3*x^3

또한 기호 매개 변수를 허용합니다.

입력:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

산출:

1/3*x^3+n*x