제품을 철수로 부수 는가?
고려에서 $\mathsf{Hom}$-펑터
$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$
왼쪽 인접이 스매시 제품 이라는 것이 다소 분명하게 느껴집니다.
$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$
이것은 나에게 상대적으로 간단하다고 느낀다. $F$ 왼쪽 인접입니다.
$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$
의미하는 것은 $F((X,x_0), (Y,y_0))$ 뾰족한 집합이며 양식의 모든 쌍에서 일정한 매핑에 정확하게 해당합니다. $(x,y_0)$ 과 $(x_0,y)$ 모든 $x\in X, y\in Y$.
자, 제 질문은 Riehl의 책에서 비롯됩니다. 그녀는이 진술이 다음과 같은 범주적인 방식으로 표현 될 수 있다고 주장합니다. $\mathsf{Set}$ 데카르트 폐쇄 범주로 대체 할 수 있습니다.
스매시 제품이 철수라고 설명 할 수 있습니까? 즉, 다음과 같은 교환 다이어그램이 있습니까?
$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$
처음 두 다리는 투영이고 다음 두 다리는 형태의 포함 물입니다. $i_{y_0}:X\to X\times Y$ 주어진 $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ 비슷하게 $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ 주어진 $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$? 내 논리가 타당하게 보이는지, 그렇지 않다면 이걸 어떤 방향으로 가져 가야하는지 알려주세요. 어디에
답변
포인트 세트 카테고리에서 포인트 $x_0\in X$ 형태 파에 해당 $x_0 : * \to X$. 두 개의 뾰족한 세트가 주어지면 푸시 아웃을 형성 할 수 있습니다.$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ 두 점을 식별하는 곳 $x_0,y_0$ 분리 된 노조의 단일로 $X\sqcup Y$.
자, 관찰하십시오 $X\vee Y$ (지적) 하위 집합입니다 $X\times Y$: 하위 집합을 식별합니다. $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (단순히 두 개의 구별되는 포인트가 하나의 포인트가 되었기 때문에 $(x_0,y_0)$ 에 $X\vee Y$).
몫을 취하면 어떨까요? $X\times Y$ 으로 $X\vee Y$? 이것이 바로 스매시 제품입니다.$X$ 과 $Y$. 하지만 동시에 이것은 푸시 아웃이기도합니다.$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ 이것은 객체가 0 개이고 모든 푸시 아웃이있는 모든 범주 (예 : 뾰족한 토폴로지 공간 범주)에서 정확히 동일하게 작동합니다.
흥미로운 사실은 만약 당신의 카테고리가 아벨 그룹의 카테고리라면 "스매시 제품"이라는 것은 제로 객체가 있다는 것입니다. $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.
따라서 스매시 제품을 제품과 부산물이 동형이되는 실패의 척도로 생각할 수 있습니다. 몫이 클수록 $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$, 앰비언트 범주는 부산물 에서 더 멀리 떨어져 있습니다.