K- 이론 $C^{*}(X)$

Question

저는 K- 이론을 처음 접했습니다. $C^{*}$-대수 및 $C^{*}$-그룹의 대수.

만약 $X$ 자연수의 유한지지 bijections 그룹입니다. 그러면 K 이론은 무엇입니까? $C^{*}(X)$?

나는 계산할 계획이었다 $C^{*}(X)$ 먼저 그 계획과 동형이의 클래스를 결정했지만 $C^{*}(X)$ 처음에.

다음은 $C^{*}$-그룹의 대수 :

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

아무도 나를 도울 수 있습니까?

감사합니다.

Answer 1

설명하는 그룹은 무한 대칭 그룹이어야합니다. $S_{\infty}$. 그만큼$K$-그것의 이론 $C^*$-대수는 Kerov와 Vershik에 의해 결정되었습니다.

무한 대칭 그룹의 K- 펑터 (Grothendieck 그룹) https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

주요 결과는 다음과 같이 요약 할 수 있습니다. $\mathcal{A}$무한히 많은 변수에서 대칭 다항식의 고리가됩니다. 이것은 동형입니다.$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, 어디 $a_i$ 이다 $i$무한한 수의 인수에서 th 기본 대칭 함수. 그때$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ 동형은 환원 불가능한 표현을 보냅니다. $\pi_{\lambda}$ Young 다이어그램에 해당 $\lambda$ 에 해당하는 Schur 함수에 $\lambda$. 이것은 또한 고리의 동형인데, 왼쪽의 고리 구조는 다음과 같은 관찰에서 비롯됩니다.$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ 두 개의 표현을 곱합니다 $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ 과 $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ ...에 $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ 어디 $S_n \times S_m$ 안에 앉다 $S_{n+m}$ 와 $S_n$ 첫 번째 순열 $n$ 요소 및 $S_m$ 다른 사람 순열 $m$.