"마지막 에이스"

Question

52 장의 카드로 구성된 덱이 완전히 섞여 있습니다. 덱에서 한 장의 카드를 선택할 때마다. 뽑은 카드는 다시 덱에 넣고 52 장의 카드는 다시 완전히 섞입니다. 네 개의 다른 에이스를 모두 볼 때까지이 절차를 계속합니다. 네 개의 다른 에이스를 모두 볼 때까지 카드를 뽑아야하는 횟수의 예상 값과 표준 편차는 얼마입니까?

분명히 문제는 같은 에이스를 계속해서 그릴 수 있다는 것입니다. 그래서 제가 그 사이에 뽑는 카드의 수를 세어야합니다. $k-1$th 성공과 $k$성공 (예 : 세 번째와 네 번째 에이스 사이에 뽑힌 카드, 서로 다른 카드). 하지만 에이스가 한 번 뽑히면이 에이스가 덱에 다시 배치된다는 사실과 관련하여 에이스가 달라야한다는 사실은 내가 세 번째 에이스를 뽑으면 "게임"이 처음부터 시작된다는 것을 의미하므로 시도 횟수를 계산해야합니다. (드로잉 카드) 첫 번째 성공을 위해 필요합니다 (예 : 아직 보지 못한 네 번째 에이스와 마지막 에이스).

그래서 만약 $X_i=[$# 뽑기 전에 $i$에이스$]$, 우리는 $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

문제를 해결하기 위해 이것을 어떻게 사용할 수 있습니까? 도움을 주셔서 미리 감사드립니다.

Answer 1

허락하다 $X$ 얻을 시행 횟수를 나타내는 랜덤 변수를 나타냅니다. $4$에이스. 우리는 나눌 수 있습니다$X$ 으로 $4$ 별도의 랜덤 변수, $X_1$ (첫 번째 에이스를 당기는 시도 횟수), $X_2$ (첫 번째 에이스를 당긴 후 두 번째 에이스를 당기는 시도 횟수), $X_3$ (두 번째 에이스를 당긴 후 세 번째 에이스를 당기는 시도 횟수) $X_4$(세 번째 에이스를 당긴 후 네 번째 에이스를 당기는 시도 횟수). 변수의 확률 분포는 기하 분포입니다. 기하학적 분포의 경우$E[Y]=\frac1p$ 과 $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

재판에서 첫 번째 에이스를 당길 가능성은 $\frac4{52}=\frac1{13}$ 그래서 $E[X_1]=13$ 과 $\text{Var}(X_1)=156$. 재판에서 세 번째 에이스를 당길 가능성은$\frac3{52}$ 그래서 $E[X_2]=\frac{52}3$ 과 $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. 재판에서 세 번째 에이스를 당길 가능성은$\frac2{52}=\frac1{26}$ 그래서 $E[X_3]=26$ 과 $\text{Var}(X_3)=650$. 재판에서 세 번째 에이스를 당길 가능성은$\frac1{52}$ 그래서 $E[X_3]=52$ 과 $\text{Var}(X_4)=2652$.

때문에 $X_1$, $X_2$, $X_3$ 과 $X_4$ 독립적 인 경우 예상 값과 분산을 직접 추가하여 예상 값과 분산을 얻을 수 있습니다. $X$. 우리는

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

과

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

표준 편차를 찾기 위해 우리는 분산의 제곱근을 취합니다.

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$