만약 $fg$ 연속적이다 $a$ 그때 $g$ 연속적이다 $a$.
한다고 가정 $f$ 과 $g$ 개방 간격에서 정의되고 유한 값 $I$ 포함하는 $a$, 그 $f$ 연속적이다 $a$, 그리고 $f(a) \neq 0$. 만약$fg$ 연속적이다 $a$ 그때 $g$ 연속적이다 $a$.
$\underline{Attempt}$
이후 $f$ 연속적이다 $a$ 과 $fg$ 연속 $a$,
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$
그래서
$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$
이후 $f(a) \neq0$
$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$
$\therefore g$ 연속적이다 $a$
답변
귀하의 증거가 정확하지 않습니다. 당신은의 존재를 가정하고 있습니다$\lim_{ x \to a} g(x)$하지만이 한계의 존재를 증명해야합니다. 쓰다$g(x)$ 같이 $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ 그것을 관찰 $f(x) \neq 0$ 만약 $|x-a| $충분히 작습니다. 이제 한계가 존재하고 동일하다는 것을 알 수 있습니다.$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.
[존재 $\delta >0$ 그런 $|x-a| <\delta$ 암시 $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. 그래서$|x-a| <\delta$ 암시 $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ 그래서 $f(x) \neq 0$].