Maximum Modulus 원리 사용에 기반한 질문

Question

이 질문은 내가하고있는 포괄적 인 질문이었습니다.

허락하다 $\Omega$ 경계 영역이고 g $\in C(\bar\Omega) \cap H(\Omega)$. | g | 0이 아닌 상수입니다.$d\Omega$. g가 일정하지 않은 경우$\Omega $ 그런 다음 g에 최소 1 1 0이 있음을 $\Omega$ .

최대 계수 원리를 사용할 수 있으며 가설 | g | 상수입니다.$d\Omega$. 그래서, 최대 g$\leq$씨 . 그러나 나는 이것에서 진행할 수 없습니다.

참고 :이 질문은 여기에 답이있다 : 가정하자$|f|$ 일정하다 $\delta D$. 보여줘$f$ 하나 이상의 0이 있습니다. $D$.

그러나 나는 질문 asker가 어떻게 1 / f가 최대 원리 원리를 사용하여 홀로 모로 릭이되지 않을 것이라고 썼는지 추론 할 수 없었고 사용자 622 ...는 7 년 전에 마지막으로 보았습니다. 그래서 물어 보면 안될 것 같아요.

이 질문에 어떻게 접근해야하는지 알려주세요.

Answer 1

취하다 $|g|=c\;\,$의 위에 $d\Omega$.

최대 계수 원리에 따라 $|g(z)|\le c$ 모든 $z\in\overline\Omega$.

이후 $g$ 홀로 모픽이며 $\Omega$, $g(\Omega)$ 비어 있지 않은 열린 하위 집합을 포함해야합니다. $\mathbb{C}$.

그것은 다음과 같습니다 $|g|$ 상수가 아닙니다. $\Omega$, 따라서 $b$ 최소값입니다. $|g|$ 의 위에 $\overline\Omega$, 우리는 $b < c$.

가정 $b > 0$.

그때 $g(z)\ne 0$ 모든 $z\in\Omega$.

따라서 최소 계수 원리에 따라 최소값은 $|g|$ 의 위에 $\overline\Omega$ 일부에서 발생해야 $z\in d\Omega$, 반대 $b < c$.

따라서 $b=0$.