모든 2020 년 보드
0은 a의 모든 셀에 기록됩니다. $5 \times 5$판. 우리는 임의의 세포를 취하여이 세포와 그와 공통된면을 가진 모든 세포의 수를 1 씩 늘릴 수 있습니다. 모든 셀에서 동시에 숫자 2020을 얻을 수 있습니까?
답변
그것은
불가능합니다.
추리:
허락하다 $M$ 될 $25 \times 25$셀 간의 인접 관계를 나타내는 행렬. 따라서 우리는 (열) 벡터를 찾고 있습니다.$x$ 의 $25$ 음이 아닌 정수 $Mx$ 벡터입니다 $[2020, 2020, \dots, 2020]$. (나는$[]$ 열 벡터를 나타 내기 위해 $()$행 벡터를 나타냅니다.)
먼저$M$대칭 행렬입니다.
또한 다음 표는 (열) 벡터가 있음을 보여줍니다.$v = [1,5,4,2,4,\dots, 4,5,1,2,7]$ 그런 $Mv =[11, 11, \dots, 11]$.
1, 5, 4, 2, 4
5, 1, 0, 1, 5
4, 0, 5, 3, 1
2, 1, 3, 1, 2
4, 5, 1, 2, 7
이후$M$ 대칭, 이것은 (행) 벡터가 있음을 의미합니다. $w( = \frac1 {11} v^T)$ 그런 $wM = (1, 1, \dots, 1)$.
또한 항목의 합계를 계산합니다.$v$ 그리고 얻다 $69$,로 나눌 수 없습니다. $11$.
결론적으로, 벡터가 있다고 가정합니다.$x$ 그런 $Mx = [2020, \dots, 2020]$.
그런 다음 우리는$M(x - \frac{2020}{11}v) = 0$, 의미 $wM(x - \frac{2020}{11}v) = 0$.
이것은 준다$(1, \dots, 1)x = \frac{2020}{11}(1, \dots, 1)v = \frac{2020}{11}\cdot 69$, 정수가 아닙니다. 따라서$x$정수 벡터가 될 수 없습니다.
결론적으로 모든 숫자가 주어진 숫자가되기를 원한다면$n$, 다음 경우에만 가능합니다. $n$ 의 배수입니다 $11$.
덜 기술적 인 솔루션 :
모든 숫자를 동일하게 만드는 대칭 솔루션을 만들 수 있습니다 (6 개의 변수는 셀이 선택되는 빈도를 나타냄).
abcba
bdedb
cefec
bdedb
abcba
합계에 대해 우리는 다음을 얻습니다 : T = a + 2b = a + b + c + d = 2b + c + e = 2b + d + 2e = 2d + c + e + f = 4e + f
여기에서 평등을 추출 할 수 있습니다.
(1 + 3) a = c + e
(1 + 2) b = c + d
(3 + 4) c = d + e
(5 + 6) 3e = c + 2d
(4 + 6) f = 2b + d -2e = 5d
이에 대한 양의 정수 솔루션은 f = 10, d = 2 등의 배수 여야하며 합계는 22의 배수가됩니다.
모든 비대칭 솔루션은 8 개 (수평 수직 및 대각선) 반사를 모두 더하여 대칭으로 만들 수 있으므로 모든 솔루션의 8 배는 22의 배수가되어야합니다. 따라서 모든 단일 솔루션은 11의 배수가 아닙니다. 2020은 11의 배수가 아닙니다. .
OP에서 요청한 깔끔한 솔루션 :
허락하다 $A$ 상수 행렬 [1,5,4,2,4; 5,1,0,1,5; 4,0,5,3,1; 2,1,3,1,2; 4,5,1 , 2,7] 및 $B$[1,1,1,0,0; 0,1,0,0,0; 0,0,0,2,0; 0,0,2,2,2; 0, 0,0,2,0]. 그런 다음 "내적"$\sum_{ij} A_{ij}B_{ij}$ 항상 11의 배수입니다. 그러나 원하는 상태는 $B^* = 2020 \times 1_{5\times5}$ 어디 $1_{5\times 5}$모든 것의 행렬을 나타냅니다. 그러나 내적$A$ 과 $B^*$ 11의 배수가 아닙니다. 모순입니다.
대부분의 크레딧은 매트릭스를 찾기 위해 @WhatsUp에 속합니다. $A$.
이것은 직관력을주는 데 도움이되는 @WhatsUp의 우아한 증거의 "원 소화"입니다.
두 가지 패턴이 있습니다. $n_i$ 이동, 각각의 합은 균일 한 증가로 $k_i$각 광장에서. 허락하다$\{x_{ij}\}$ "셀 수", 즉 시간 제곱의 수 $j$ 패턴에서 (중심으로) 선택되었습니다 $i$. 이제 패턴에서 각 셀 수를 곱하십시오.$1$ 패턴의 각 셀 수 $2$ 즉, 첫 번째 셀을 중심으로하는 "+"-펜토 내에 있으며 (물론, 대칭입니다. 즉, 동등하게 첫 번째 셀이 두 번째 셀을 중심으로하는 펜토 내에 있음) 합계를 형성합니다. $S = \sum_{j,j' \text{"pento-connected"}} x_{1j}x_{2j'}$. 그때$S = \sum_j x_{1j} \sum_{j\text{within pento at}j'} x_{2j'} = \sum_j x_{1j} k_2 = 25 k_2 n_1$ 유사하게 $S = 25 k_1 n_2$.
대체 $k_1,n_1 = 11,69$ WhatsUp 및 $k_2 = 2020$ 일치하는 정수가 $n_2$ 존재하지 않는다.
다음은 숫자를 설명 할 수있는 직관적 인 주장에 가장 가깝습니다. $69,11$. 여기서 직관적이란 눈으로 풀 수없는 방정식 시스템을 포함하지 않는 것을 의미합니다. 그것이 진정으로 밝게 빛나는 것인지 흥미로운 것인지는 또 다른 문제입니다
보드를 각각 두 개의 하위 그룹으로 구성된 세 그룹으로 나눕니다. $$\begin{matrix}a&A&b&A&a\\A&B&C&B&A\\b&C&c&C&b\\A&B&C&B&A\\a&A&b&A&a\end{matrix}$$. 우리는 표기법을 많이 남용하고$a$예를 들어, 하위 그룹, 총 점유율 또는 중앙에있는 이동 클래스 (최대 자연 $8$-배 대칭) 광장에서.
이제 관찰하십시오 $8$-각 부분 군에 대한 겹 대칭 $a,b,c$에 비해 평균을 증가시키는 단 하나의 움직임 이 있습니다.$A,B,C$, 즉 각각. $A,b,C$. 따라서 균형을 증가시키는 각 움직임은$A,B,C$ vs $a,b,c$은 각각 적절한 단계 수로 균형을 이루어야합니다. $A,b,C$, 각각.
몇 가지 계단식이 있습니다. 불균형으로 시작 $B>b$ 의 $1$ 이것은 하나의 균형을 이루어야합니다 $b$ 새로운 불균형을 일으키는 움직임 $A>a$--- 더 이상의 부작용없이 해결할 수있는 --- 그리고 새로운 불균형 $C>c$ 의 $1$. ㅏ$C>c$ 불균형은 $C$ 단계에서 reblances 이동 $3$ (에 $C$ 단위, $3/4$ 에 $c$단위, 그룹 크기로 인한 차이). 그러나 다시 도입$B>b$ 불균형 $1$. 이 모든 것을 결합하면 완전히 균형 잡힌$A>a$ 의 $1$ 비용 $1A$, ㅏ $B>b$ 의 $2$ 비용 $1C,3b,3A$, 및 $C>c$ 의 $2$ 비용 $1C,1b,1A$.
그룹이 균형을 이루면 그룹의 절대 수준 $Aa$ 과 $Cc$ 이동을 사용하여 필요에 따라 위쪽으로 수정할 수 있습니다. $a$ 과 $c$. 특히 이러한 움직임은 그룹 내 균형 측면에서 중립적입니다. 우리는$B$이제 모든 움직임은 중립적이거나 소문자 그룹 순승으로 이어졌습니다. 이 무게를 공식화하려면$A:1,C:1,B:4$. 다음을 제외한 모든 움직임$B$중립적이거나 그룹 내 잔액의 가중치 합계를 선호하는 소문자쪽으로 이동합니다. 따라서 총량을 선택하여 균형 잡힌 패턴을 만들 수 있습니다.$B's$균등하고 균형을 유지해야합니다. 둘로 인한 불균형$B$'S는 $B>b:2,C>c:4,A>a:4$: 균형을 고정하려면 $14A,5b,3C$. 함께$2B$ 이것은 점유로 이어진다 $B=b=22$ 그룹 크기로 나눌 수 없습니다. $4$그래서 우리는 모든 숫자를 두 배로해야합니다. 그룹 규모를 가져 오려면$A=a$ 과 $C=c$ 정확한 레벨에 추가해야합니다. $5C$ 과 $16a$ 총으로 이어지는 $69$.
이 주장은 부분 군 불균형 내에서 이론적으로 실현 가능할 정도로 거의 건설적입니다. 하지만 우리는 4로 시작합니다$B$우리가 선택한 것이므로 가능한 예외를 제외한 모든 $A$ (어떤 $8$ 멤버는 대칭으로 만들 수 있습니다.