모든 측지선을 따라주기적인 함수
기하학적 강성 정리를 이해하기 위해 다음 사항이 궁금합니다. $(M,g)$ 완전한 리만 매니 폴드이고에 상수가 아닌 실수 값 함수가 있다고 가정합니다. $M$ 단위 속도 측지선으로 제한되면 기간이 1입니다. $M$. 이 장소에 제한이 있습니까?$(M,g)$?
내 느낌은 대다수의 매니 폴드가 그러한 기능을 지원할 수 없다는 것입니다. 둥근 구체는 분명히 할 수 있습니다.
편집 : 내가 올바르게 이해한다면-Radeschi and Wilking (Invent. Math. 2017)의 기사 arxiv.org/abs/1511.07852에 따라 Igor Belegradek이 주석, Wadsley의 정리 (J. Diff. Geom. 1975)에서 제공했습니다. 모든 측지선이 닫힌 모든 리만 매니 폴드에 대해 모든 기능이 $M$일정한 주기로 위의 조건을 만족합니다. 정리는 닫힌 측지선의 모든 길이가 단일 숫자의 배수 여야한다는 것입니다.$\pi_1(M)$ 유한하다
답변
만약 $f\circ \gamma$ 기간 있음 $1$ 모든 단위 속도 측지 $\gamma:\mathbb{R} \to M$ 특히 $f(x) = f(y)$ 할때는 언제나 $x$ 과 $y$ 길이의 측지선 세그먼트의 끝점입니다. $1$.
이것은 $f(x) = f(y)$ 시퀀스가있을 때마다 $x_0 = x,x_1,\ldots,x_n = y$ 그런 $x_i$ 과 $x_{i+1}$ 길이 세그먼트의 끝점 $1$ ...에 대한 $i = 0,\ldots,n-1$. Sunada 호출에 따라 이러한 시퀀스를$1$-측지 체인.
두 점이 $1$-측지 체인 $f$일정해야합니다. Sunada의 몇 개의 논문 (예 : "평균값 정리 및 특정 무작위 걷기의 에르 고딕 성"Compositio Mathematica 1983의 Theorem C)에서 두 점이$1$-측지 체인이 제공됩니다.
그의 결과는 상수가 아닌 $f$ 존재하려면 요점이 있어야합니다 $o \in M$ 모든 단위 속도 측지선에 대해 $\gamma(0) = x$ 하나는 그것을 가지고 $\gamma(n)$ 결합하다 $x$ ...을 따라서 $\gamma$ 모든 정수 $n$.
이것은 특히 $M$ 콤팩트하고 기본 그룹은 유한합니다 (위의 조건이 보편적 인 커버 공간에도 적용되기 때문에).
표면의 경우 (앞서 Sunada의 논문에서 정리 G) $M$ 모든 측지선이있는 미터법이있는 구 또는 투영 평면이어야합니다. $o$ 기간이있다 $2$.