무한 복소수의 수렴

Question

복잡한 분석에 대한 연구에서 다음과 같은 질문에 직면했습니다.

우리는 복소수를 찾아야합니다 $ z $ 무한 셀 수있는 제품이 수렴하는 $$\prod_{n=1}^{\infty} (1-z^n)$$ 0이 아닌 숫자로.

나는 제품이 수렴한다는 것이 무엇을 의미하는지 알고 있지만 (부분 제품의 시퀀스가 ​​0이 아닌 숫자로 수렴 됨) 이것이 수렴하는 숫자를 찾을 수 없습니다. 아마도 비율 테스트일까요? 적용하려고 할 때 작동하지 않는 것 같습니다. 나는 경우에 분할 생각$|z|>1,|z|<1,|z|=1$그러나 다시 다루기 어렵습니다. 나는 제품이 수렴하는 모든 복소수를 찾고 그것이 실제로 모든 것을 보여줄 필요가 있습니다. 모든 도우미에게 감사드립니다. ****** 편집 : 복잡한 분석가가 용어에 대해 동의하지 않도록 0이 아닌 값으로 수렴하도록 수정했습니다.

Answer 1

무한한 제품으로 수렴하면 $|z|<1$. 때 0입니다$z$통일의 뿌리이지만 복잡한 분석가들은 그 때도 발산한다고 주장 할 것입니다. 그것은 확실히 다른 모든 것에 대해 다릅니다.$z$. 에 대한$|z|<1$ (주) 로그 $1-z^n$ 점근 적이다 $-z^n$ 그래서 제품이 수렴합니다.

에 대한 $|z|>1$ 용어가 수렴하지 않습니다 $1$, 동안 $|z|=1$ 사물이 훨씬 더 섬세합니다.

Answer 2

논의하기 위해 $|z|<1$:

$$\displaystyle Q = \prod_{n=1}^\infty(1-z^n)$$

$$\log Q = \sum_{n=1}^\infty \log (1-z^n)$$

그만큼 $n$시리즈의 번째 용어는 $a_n=\log(1-z^n)$ 과 $\lim \sup |a_n|^{1/n} =|z|$, 그래서 만약 $|z|<1$, 계열 (및 따라서 제품)이 수렴합니다.