무한한 수의 특별한 뿌리?

Question

당신은 할 수 있습니다 :
숫자를 소인수의 수로 나누고 다중성을 계산하여 숫자를 줄입니다.
결과에 대해 원하는만큼 반복하십시오.

그 뿌리로 줄일 수있는 무한한 수의 제곱이 있습니까?

예 :
4와 16은 한 단계에서 루트로
감소합니다. 1600은 2 단계에서 40으로 감소합니다.

질문이 더 높은 권한에 대한 답변을 받으면 보너스 포인트.
나는 그것을 무차별 대입하지는 않았지만 16이 2 단계에서 2로 감소하는 것이 유일한 것이라면 놀라지 않을 것입니다.

Answer 1

부분 결과 :

모든 솔루션은 숫자로 완전히 결정됩니다. $n$주요 요인의. 실제로, 가정$s$ 솔루션입니다 $n$ 소인수, 정사각형으로 시작 $s^2$ 어느 것이 $2n$소인수. 솔루션의 정의에 따라 우리는$s^2$ 으로 $2n$. 만약$2n$ 있다 $k$ 소인수 $\frac{s^2}{2n}$ 있다 $n'=2n-k$소인수. 다시, 우리는$n'$ 결과는 $n''=2n-k-k'$ 소인수 $k'$ 소인수의 수입니다 $n'$등등. 우리는 소수의 수만을 사용했고, 이것은 분해를 통해$k,k',...$이러한 요소가 무엇인지 결정합니다. 따라서 주어진 것과 동등한 작업은 다음과 같습니다.$n$ 그런 시작에서 $2n$ 그리고 우리가 결국 맞은 소인수의 수를 반복해서 빼서 $n$. 다른 것이 없다면 이것은 컴퓨터로 탐색하기 훨씬 쉬우 며 많은 (최대 10000 개의 소인수를 가진 제곱의 경우 ~ 1500) 솔루션이있는 것처럼 보입니다.

Answer 2

부분 답변 :

1 백만 미만의 뿌리에 대해 작동하는 다음 제곱을 찾았습니다. $2^2, 4^2, 40^2, 80^2, 756^2, 1512^2, 42120^2, 130560^2$. 이 시퀀스가 ​​무기한 계속되는지 여부는 명확하지 않습니다. 다음 사각형은 2에 도착합니다.$2^2, 4^2, 80^2, 1008^2$.

Answer 3

확률 론적 주장 :

Paul Panzer의 축소를 사용하여 다음 문제를 해결하십시오.

양의 정수의 경우$n$, 정의 $f(n)$ 되려고 $n$ 소인수의 수를 뺀 $n$, 다중성으로 계산 될 때. 무한히 많은$n$ 그래서 $n$ 순서대로 $2n,f(2n),f(f(2n)),\dots$?

밝히다$\Omega(n)$ 소인수의 수 $n$다중성으로 계산됩니다. 평균 주문은$\Omega(n)$ 이다 $\log \log n$( 여기 참조 ) 따라서 합리적인 추측은 시퀀스가$2n$ 어떤 숫자에 대한 편견이 없어야합니다. $n$ 여기에는 평균이 소요되므로 $n/\log \log n$ 반복 $f$ 가까워지다 $n$. 결과적으로 기대해야합니다.$n$ 가능성이있는 순서로 $1/\log \log n$, 및 $$\sum \frac{1}{\log \log n}$$갈라진다. 그래서 무한히 많아야합니다$N$ 어떤 $N$ 에서 도달 할 수 있습니다 $N^2$.