멱급수 도출

Question

나는 다음으로 표현되는 기능을 찾고 싶다. $\sum_{k=1}^{\infty} k^2z^k$.

지금까지 내가 한 일은 다음과 같습니다.

로 시작 $\sum_{k=1}^{\infty}z^k = \frac{z}{1-z}$기하학적 시리즈의 정의로. 그런 다음 시리즈의 미분을 취하여 z를 곱하면$\sum_{k=1}^{\infty}kz^k = \frac{z}{(1-z)^2}$. 이 과정을 반복하면$\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k = \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{2z^2}{(1-z)^3}$.

통합 할 때 인덱스가 변경되어야합니까? 아니면 이것이 최종 솔루션이고 아무것도 변경되지 않습니까?

Answer 1

재색 인화라는 질문을 피할 수있는 방법이 있습니다.

좀 더 어렵게 만들 게요 $\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k$.

쓰다 $$k^3=k(k-1)(k-2)+a k(k-1)+b k +c$$ 즉 말하자면 $$c+k (-a+b+2)+(a-3) k^2=0$$ 어떤에서 $a=3$, $b=1$ 과 $c=0$. 그래서$$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^k+3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}kz^k$$ 쓸 수있는 $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^{k-3}+3z^2\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}+z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$$ 즉 말하자면 $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'''+3z^2\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)''+z\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'$$