ODE에 대한 다중 솔루션

Question

IVP에 대한 해결책을 찾고 싶습니다. $$y' = 2\cos(x)\sqrt{y-1},\;\; y\geq1 $$ 초기 상태 $y(0)=2$.

일반적인 솔루션을 얻기 위해 변수 분리를 사용했습니다. $$y =\left(\sin(x)+C\right)^2 +1.$$

초기 조건을 사용하여 특정 솔루션을 찾으려고 시도하면 $C = \pm 1$.

이 두 값 모두 $C$ 원래의 미분 방정식으로 다시 들어갈 때 작동합니다.

그러나 ODE는 모두에게 연속적이기 때문에 $y\geq 1$ 그리고 $y$ 편미분은 모두 연속적입니다. $y>1$, Picard의 정리는 초기 조건에 대한 고유 한 솔루션이 있어야한다고 말합니다. $y(0)=2$.

어느 것이 유효하지 않은지 확인하기 위해 두 솔루션을 추가로 테스트 할 수있는 방법이 있습니까?

Answer 1

두 가지 솔루션 \begin{align}y_1(x)&=(\sin x-1)^2+1\\y_2(x)&=(\sin x+1)^2+1\end{align}동일한 기능을 나타내지 만 이동합니다. 그건,$\sin(x+\pi)-1=-(\sin x+1)$ 그래서 $y_1$ 이다 $y_2$ 이동 $\pi$.

Answer 2

또한 주어진 방정식에 따라 $y'(0)=2\cos(0)\sqrt{2-1}=2$즉, 기울기는 양수 여야합니다. 그러나$$ y_1'(x)=2\cos x(\sin x-1)\implies y_1'(0)=-2. $$

Answer 3

해결책 $y=(\sin x+C)^2+1$ 미분 방정식에 대한 해결책 일뿐입니다. $C> 0$. 방정식을 푸는 과정에서 다음과 같은 결과를 얻게됩니다.$$\sqrt{y-1}=\sin x+C$$ 이것이 양의 제곱근이므로 $\sin x+C\ge 0$ 모든 지점에서 $y$정의됩니다. 우리가 원한다면$y$ 주변의 이웃에 정의 $0$ 다음 우리는 필요합니다 $C>0$. (에 대한$C\ge 1$ 솔루션은 모두에게 유효합니다 $x$.)

기능 $y=(\sin x+C)^2+1$ 항상 미분 방정식에 대한 해결책입니다. $$(y')^2=4\cos^2x\,(y-1)$$모두를 위해 $C$, 긍정적이고 부정적인. 이 후자의 DE는 초기 조건으로$y(0)=2$ 실제로 고유 한 솔루션이 없습니다.