Pell의 방정식에 대한 질문.

Question

질문. 한다고 가정$x,y,x',y'$ 만족하는 양의 정수 $x^2-dy^2=\pm 1$ 과 $(x')^2-d(y')^2=\pm 1$각기. 가정$x<x'$, 증명 $y<y'$.

어디서부터 시작해야할지 잘 모르겠습니다. 첫째, 긍정적 인 해결책을 취함으로써 저는$(x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)=1$ 그래서 우리는 가질 수 있습니다 $y=0$ 과 $x=1$. 하지만 그게 어떻게 도움이되는지 잘 모르겠습니다.

계속되는 힌트 또는 경로는 크게 감사하겠습니다.

Answer 1

당신은

$$x^2-dy^2=\pm 1 \tag{1}\label{eq1A}$$

$$(x')^2-d(y')^2=\pm 1 \tag{2}\label{eq2A}$$

만약 $d \lt 0$, 양의 정수로만 솔루션이 없습니다. $d = 0$이면 양쪽 오른쪽이 $1$ 와 $x = x' = 1$, 이것도 허용되지 않습니다. 그러므로,$d \gt 0$.

다음으로 반드시 오른쪽을 가정하지는 않습니다. $\pm 1$ 값은 $2$ 방정식, \ eqref {eq2A} 빼기 \ eqref {eq1A}는

$$((x')^2 - x^2) - d((y')^2 - y^2) = z \tag{3}\label{eq3A}$$

어디 $z \in \{-2, 0, 2\}$, 그래서 $z \le 2$. 이후$x \ge 1$, 및 $x' \gt x \implies x' \ge x + 1$, 당신은 얻을 $(x')^2 - x^2 \ge (x + 1)^2 - x^2 = 2x + 1 \ge 3$. 그러므로,$- d((y')^2 - y^2) \le -1 \implies d((y')^2 - y^2) \ge 1$ 이후 $d \gt 0$, 당신은 또한 $(y')^2 - y^2 \gt 0 \implies y' \gt y$.

Answer 2

흠 .. 증명하기 쉽지 않나요?

첫째, 쉽게 알 수 있습니다. $d$ 긍정적입니다.

둘째, 직접 표현할 수 있습니다. $y$ 과 $y'$기능
(동일한 기능)으로$x$ 과 $x'$ 각기.

$$y = \sqrt{\frac{x^2-1}{d}}$$
$$y' = \sqrt{\frac{x'^2-1}{d}}$$

그리고이 기능 이후

$$f(t) = \sqrt{\frac{t^2-1}{d}}$$

증가하고 있으며 $x \lt x'$, 귀하의 진술 $y \lt y'$ 분명히 사실입니다.