플라톤 고체의 강체 운동 그룹 순서를 찾는 방법 $\mathbb{R}^3$?
다음은 Dummit 및 Foote의 대수 (섹션 $1.2$ -2 면체 그룹) :
- 허락하다 $G$ 강직 한 움직임의 그룹 $\mathbb{R}^3$사면체의. 보여줘$|G| = 12$
- 허락하다 $G$ 강직 한 움직임의 그룹 $\mathbb{R}^3$큐브 보여줘$|G| = 24$
- 허락하다 $G$ 강직 한 움직임의 그룹 $\mathbb{R}^3$팔면체의. 보여줘$|G| = 24$
- 허락하다 $G$ 강직 한 움직임의 그룹 $\mathbb{R}^3$십이 면체의. 보여줘$|G| = 60$
- 허락하다 $G$ 강직 한 움직임의 그룹 $\mathbb{R}^3$정 이십 면체의. 보여줘$|G| = 60$
에서 이 대답 그 단단한 운동 즉, 방향 보존 isometries 있습니다 반사가 허용되지 않습니다 생각.
그래서 정사면체의 경우 정점과 반대면의 중심을 통과하는 대칭 축을 생각했습니다. 이러한 축이 4 개 있습니다.$A,B,C,D$). 모든 축을 따라 우리는$1_i, r_i, r_i^2$ 세 번의 회전으로 $r_i^3= 1$, 식별 요소 ($i=A,B,C,D$). 이러한 축이 4 개 있기 때문에$|G| = 3\times 4 = 12$. 괜찮습니까, 아니면 뭔가 놓치고 있습니까? 나는 사실에 대해 약간 걱정됩니다$1_A,1_B,1_C,1_D$ 모두 동일 할 수 있으며 (아이덴티티 변환이기 때문에) 내가 과도하게 계산하고있는 것입니까?
사소한 질문 (우회) : 다른 축에 해당하는 항등 변환이 다르거 나 동일합니까?
큐브의 경우 다음을 수행했습니다.
- 반대쪽면의 모든 쌍에 대해 대칭 축이 있습니다. 있습니다$3$ 이러한 쌍, 따라서 $3$ 그러한 축 (말하다 $A,B,C,D$). 우리가 정의하는 각 축에 대해$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ 와 $r_i^4 = 1$ 어디 $i=A,B,C,D$.
- 네 개의 신체 대각선이 있습니다. $E,F,G,H$) 및 각 대각선 (대칭 축)에 대해 정의합니다. $1,r_j,r_j^2$ 와 $r_j^3= 1$ 어디 $j=E,F,G,H$.
위의 계산을 고려하여 $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
이 방법을 사용하는 것은 이후 에 더 큰 고체에 대해 어려워 집니다. 모든 대칭 축을 손으로 식별하는 것은 쉽지 않습니다. 게다가이 시점에서 제가 자세히 배운 유일한 그룹은$D_{2n}$그렇게 하지 마십시오 과 같은 솔루션 제공 "필요한 그룹을$G$ 잘 알려진 잘 연구 된 그룹과 동형 $X$, 그리고 우리는 $|X| = ?$ 그래서 $|G| = ?$"
나는 모든 뚜렷한 경직된 움직임 을 세는 좋은 방법을 갖는 것으로 귀결된다고 생각합니다 . 누군가 이것을 도와 줄 수 있습니까?
나는 제임스 하의 솔루션을 통해 온 여기에 ,하지만 난 PDF에 제시된 솔루션이 얼마나 이해하지 못하는 해당 심지어 정사면체와 정육면체 경우에 광산. 누군가 내가 동등성을 볼 수 있도록 도와주고 다른 플라토닉 고체로 진행하는 방법을 알려 주면 좋을 것입니다! 감사합니다!
답변
기존 답변에 몇 가지 정교화 및 추가 설명을 추가하려면 :
orangeskid가 언급했듯이 두 모서리 사이의 변환 수에서 대칭 그룹의 크기를 유추 할 수 있습니다. 이를 더 명확하게 볼 수있는 방법은 다음과 같습니다.
꼭지점과 해당 꼭지점에서 나오는 가장자리 (또는 동등한 끝점 중 하나가 구별되는 가장자리)로 구성된 다면체의 방향 가장자리 를 고려하십시오 . 우리가 가지고 있다면$e$ 가장자리, 다음 우리는 $2e$이러한 방향 모서리의. 우리는 Platonic solids를 사용하고 있기 때문에, 이것들 모두 다른 것으로 가져갈 수 있습니다 (이것은 Platonic solids의 대부분의 정의에서 꽤 쉽게 따르지만 꽤 직관적이어야합니다).
그러나 우리가 하나의 방향성 가장자리를 알게되면 $(v_1,e_1)$ 다른 방향 모서리로 이동 $(v_2,e_2)$, 회전을 완전히 지정했습니다. 일단 이동하면 $v_1$ ...에 $v_2$, 가능한 회전을 사물이 회전 할 수있는 단일 축으로 제한했으며 (현재 고정 된 점이 있으므로) 회전하는 방법 중 하나만 움직일 것입니다. $e_1$ ...에 $e_2$.
특히, 이것은 회전이 단일 방향 모서리를 취하는 위치에 의해 고유하게 지정됨을 의미합니다. 각각의 이후$2e$ 가능성은 독특한 회전을 제공합니다. $2e$ 가능한 회전 총.
(방향 반전 변환을 허용하는 경우 두 배가됩니다. 모든 방향으로 방향을 바꾸는 가장자리를 다른 방향으로 가져갈 때마다 반사하여 방향이있는 가장자리를 고정하는 두 번째 변환을 얻습니다.)
축을 고정하는 신원 변환은 모두 동일한 신원 변환입니다. 모양은 변하지 않습니다.
가능한 각 플라토닉 솔리드에 대해 가능한 회전 유형 (방향 유지)을 더 명확하게 설명하려면 다음을 수행하십시오.
모든 플라토닉 솔리드에 대해 가능한 회전은 정점에 대한 사소하지 않은 회전입니다. $180^\circ$ 모서리를 중심으로 한 회전, 얼굴을 중심으로 한 사소한 회전 또는 동일성 변환.
사면체의 경우면은 정점이 반대이므로 $4\cdot (3-1)$ 사소하지 않은 정점 /면 회전, $1$ 정체성, 그리고 $3$ 가장자리 뒤집기 ($6$ 가장자리, 그러나 뒤집기 당 2 개 사용), 총 $12$.
큐브의 경우 $8\cdot (3-1)/2$ 정점 회전, $6\cdot(4-1)/2$ 얼굴 회전, $12/2$ 가장자리 뒤집기 및 $1$ 정체성, 총 $24$.
팔면체의 경우 $6\cdot(4-1)/2$ 정점 회전, $8\cdot (3-1)/2$ 얼굴 회전, $12/2$ 가장자리 뒤집기 및 $1$ 정체성, 총 $24$.
12 면체의 경우 $20\cdot(3-1)/2$ 정점 회전, $12\cdot(5-1)/2$ 얼굴 회전, $30/2$ 가장자리 뒤집기 및 $1$ 정체성, 총 $60$.
정 이십 면체의 경우 $12\cdot(5-1)/2$ 정점 회전, $20\cdot(3-1)/2$ 얼굴 회전, $30/2$ 가장자리 뒤집기 및 $1$ 정체성, 총 $60$.
4 개의 동일한 정삼각형을 골판지에서 잘라 내고 함께 테이핑하여 4 면체를 만드는 방법을 대체 할 수 없습니다. 이 작업을 마치면 가장자리 중앙에 손가락 끝을 놓고 반대쪽 가장자리 중앙에 다른 손가락 끝을 놓습니다. 그런 다음 손가락 끝을 연결하는 축을 중심으로 사면체를 회전합니다. 당신은$180^\circ$회전은 사면체를 다시 그 자체로 가져옵니다. 제 경험상, 이것은 당신이 물리적으로 해보기 전까지는 시각화하기 어렵습니다.
세 쌍의 반대쪽 모서리가 있으므로 세 쌍의 $180^\circ$회전. 이것들은 정체성과 여덟 번의 회전과 함께$\pm120^\circ$ 면의 중심을 반대쪽 정점에 연결하는 다양한 축에 대해 사면체의 모든 회전 대칭을 설명합니다.
다른 플라톤 고체는 비슷한 $180^\circ$회전. 그러나 카운트 만 원하면 더 간단한 작업을 수행 할 수 있습니다. 고정 된 방향으로 마주 보는 솔리드의 한면으로 시작합니다 (가로 가장자리 하나). 그것이$m$-양면, 있습니다 $m$ 수평이 될 수있는 가장자리와 $m$방향은 모두 얼굴의 중심을 중심으로 회전하여 서로 얻을 수 있습니다. 이제 고체에$f$ 얼굴, 모든 $f$회전에 의해 "당신을 향한"위치로 가져올 수 있습니다. 그래서 있어야합니다$mf$회전 대칭. 이것은 모든 것을 설명합니다.
orangeskid의 대답은 이것보다 비슷하지만 더 간단합니다. 수평으로 향하는 가장자리에서 시작하십시오. 이 모서리를 포함하는 수평면이 해당 모서리를 따라 만나는 두면 사이의 2 면각을 이등분하도록합니다. (즉, 당신의 관점에서 보면, 당신에게서 멀어지는이 두 얼굴은 동일하게 보일 것입니다.) 이제 당신은 할 수 있습니다.$180^\circ$위에서 설명한 회전이지만, 회전을 통해 솔리드의 다른 가장자리를 "대면"위치로 가져올 수도 있습니다. 그래서$2e$ 대칭.
다면체의 경우 $3$ 공간은 가장자리가 $a$ 다른 가장자리로 이동할 수 있습니다. $b$ 으로 $2$ 솔리드의 방향 유지 변형 (하나를 얻은 다음 $b$). 모든 변형을 고려하면$4$ 그러한 변형.
따라서, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, 어디 $e$ 가장자리의 수입니다 $S$.