Picard 그룹 대 클래스 그룹
질문.
허락하다 $R$교환 링이 되십시오. 허락하다$M$ 콩 $R$-존재하는 속성을 가진 모듈 $R$-기준 치수 $N$ 그런 $M\otimes_R N\cong R$. 항상 이상이 있는가$I$ 의 $R$ 그런 $M$ 동형이다 $I$ 로 $R$-기준 치수? (나는이 일반성이 아닌 것 같다)
배경.
허락하다 $R$교환 링이 되십시오. 다음은 하나가 연결할 수있는 두 그룹입니다.$R$.
- "클래스 그룹".
첫 번째 그룹은 "수 이론에서 영감을 받았습니다"입니다. 하나는 이상을$R$자연적인 곱셈이 정의되어 있음을 관찰합니다. 하나는 두 가지 이상을 정의합니다$I$ 과 $J$0 이 아닌 제수가 존재 하는 경우 동등 함$s$ 과 $t$ 그런 $sI=tJ$. 이 관계는 곱셈과 잘 작동하여 동등성 클래스에 곱셈을 제공합니다 (내가 실수하지 않는 한 내 참조는 "봉투 계산의 뒤"임). 이것은 등가 클래스를 교환 모노 이드로 만들고 다음의 클래스 그룹을 정의 할 수 있습니다.$R$ 이 모노 이드의 단위, 즉 역이있는 요소가됩니다.
참고 : 대신 분수 이상을 사용할 수 있습니다. 분수 이상 이론은 종종 정수 영역에 대해서만 설정되며, 위의 문제를 해결했다면 정수 영역으로 제한해야 할 수도 있습니다. 분수 이상은 분모가있는 완전한 이상으로 정의되므로 여기에 정의 된 그룹이 변경되지 않는다고 생각합니다.
- Picard 그룹.
두 번째 그룹은 "기하학에서 영감을받은"그룹입니다. $\operatorname{Spec}(R)$. 보다 구체적으로, 동 형사상 클래스 모음 (세트가 아님)을$R$-모듈 $M$. 이것은 텐서 곱에서 오는 곱셈을 가지고 있으며 집합이 아니라는 점을 제외하고는 모노 이드의 공리를 충족합니다. 그러나이 모노 이드의 단위는 세트입니다. 왜냐하면 봉투 계산의 또 다른 뒷면은$M\otimes_R N\cong R$ 그리고 우리는 $1=\sum_i m_i\otimes n_i$, 유한 합, 다음 $m_i$ 일으키다 $M$ 로 $R$-module, 우리에게 monoid의 단위 크기에 대한 제어를 제공합니다.-그것들은 모두의 몫에 동형입니다. $R^n$그래서 우리는 집합 이론적 의미에서 통제권을 회복했습니다. 모노 이드의 단위는 두 번째 그룹입니다.
질문은 이러한 그룹이 일반적으로 동등하지 않다는 것을 스스로 확신시키려는 시도에서 비롯됩니다 (일반적으로 동등하다고 기대하지 않기 때문입니다). 만약$R$ Dedekind 도메인입니다 (따라서 $\operatorname{Spec}(R)$ 부드러운 아핀 곡선) 여기에 고전적인 정의와 클래스 그룹의 멋진 정의가 있습니다. $R$, 질문에 대한 대답은 "예"입니다. 이는 모든 랭크 1 사영이기 때문입니다.$R$-모듈은 이상과 동형입니다. $R$; 내가 올바르게 기억하면 더 일반적으로 모든 순위$n+1$ 투영 $R$-모듈은 동형 $I\oplus R^n$ 어떤 이상을 위해 $I$ (적어도 숫자 필드의 정수에 대해서는 사실입니다) 0 번째 대수를 계산할 수 있습니다. $K$-그룹 (Grothendieck 그룹) $R$. 그러나 이것보다 더 일반적으로 나는 무슨 일이 일어나고 있는지 확신하지 못합니다.
온 제수 위키 백과 페이지 나는 "모든 라인 번들을 읽어$L$ 의 위에 $X$ 적분 Noetherian 계획은 일부 Cartier 제수의 클래스입니다. "그래서 결과가 Noetherian 적분 영역에 대해 사실 일 수 있다고 생각하지만 거기에서도 증거를 볼 수 없습니다 (아마도 그것이 표준 일 것입니다). 그렇다면 Noetherian이 아닌 반례가 있는지 궁금합니다.
답변
다음은 Hartshorne의 위에서 언급 한 증거를 다소 일반화하려는 시도입니다.
주장 : 하자$R$ 분수의 전체 고리를 가진 고리 $R_{\mathrm{tot}}=S_{\mathrm{nzd}}^{-1}R$Artinian입니다. 그런 다음 모든 반전$R$-모듈은 반전 가능한 이상과 동형입니다.
(가설은 최소한 다음 두 가지 "자연스러운"경우에 적용됩니다.
- $R$ 정수 체계의 경우에 해당하는 도메인입니다.
- $R$ 포함 된 구성 요소가없는 Noetherian 링입니다. 즉 $\mathrm{Ass}\,R$ 정확히 최소 소수의 집합입니다.이 경우 스펙트럼은 $R_{\mathrm{tot}}$ 이러한 최소 소수로 정확하게 구성되므로 $0$-차원.)
증명 : Hartshorne의 증명 에서처럼 하나가 진행됩니다. 반전 가능한 모듈이 주어지면$M$, 이것은 일정한 순위의 로컬 무료 모듈입니다. $1$, 그래서 $R_{\mathrm{tot}}$-기준 치수 $M \otimes_R R_{\mathrm{tot}}$. 같이$R_{\mathrm{tot}}$ Artinian, 로컬에서 무료 인 순위 모듈 $1$ 실제로 무료 순위 모듈입니다. $1$, 따라서 우리는 $$M=M\otimes_R R\hookrightarrow M\otimes_R R_{\mathrm{tot}}\simeq R_{\mathrm{tot}}.$$ 이것은 실현 $M$ 로 $R$-하위 모듈 $M'$ 의 $R_{\mathrm{tot}}$. 유한하게 생성됩니다 (왜냐하면$M$ is),이 생성기를 $a_1/s_1, \dots, a_n/s_n \in R_{\mathrm{tot}}.$ 하지만 $s=s_1s_2 \dots s_n$ 0이 아닌 제수 $R$, 그리고 우리는 $sM' \subseteq R$. 그러므로,$M$ 뒤집을 수있는 이상과 동형 $I:=sM'$. $\square$
(나는 가정을 가정함으로써 조금 더 완화 될 수 있다고 생각합니다. $R_{\mathrm{tot}}$로컬 링의 유한 한 직접 산물 일뿐입니다 ( 편집 : 사실, 단순히$\mathrm{Pic}(R_{\mathrm{tot}})=1$). 그러나 이것이 제공 할 새로운 "자연스러운"사례를 알지 못합니다.)
나는 그것을 가정 할 것이다 $R$분수 필드에서 완전히 닫힙니다. 허락하다$A$ 반 현지화 $R$ 모든 최대 이상에서 $R$계승이 아닙니다. (그건,$A=S^{-1}R$ 어디 $S$ 모든 최대 이상들의 결합을 보완하는 것입니다.) $Pic(R)$ 안에 앉다 $Cl(R)$ 사실 맵의 핵심입니다. $Cl(R)\rightarrow Cl(A)$.
참고 문헌은 없지만 어딘가에 Fossum의 논문에 있어야합니다.