폴랜드 서수 운동

Question

Folland의 책에서 다음 연습을 고려하십시오.

나는 성공적으로 (a), (b), (c)를 증명했고 이제 (d)를 증명하고 싶습니다.

시도 (개요) : 풋$E:= \bigcap_1^\infty E_n$. 우리는$E \subseteq \Omega$ 요소를 제거하여 $\omega_1$(이것은 원래 세트가 셀 수없는 경우에는 셀 수 없습니다). 우리는 (c)를 사용하여$E$ 셀 수 없습니다.

그래서 $x \in \Omega$. 시퀀스 정의$(x_n)_n$ 대각선 인수로 :

밝히다 $x_0:= x+1$ $x_1 \in E_1, x_2 \in E_2, x_3 \in E_1, x_4 \in E_2, x_5 \in E_3, x_6 \in E_1, x_7 \in E_2, x_8 \in E_3, x_9 \in E_4, x_{10}\in E_1$계속하십시오. 우리는 또한$x_1 < x_2 < x_3 <\dots$, 다시 (c)를 사용합니다.

힌트에 따라 $(x_n)_n$수렴. 나는 그것을 증명했다$\lim_n x_n = \sup_n x_n = \bigcup_n x_n$. 따라서 건설에 의해$y:=\lim_n x_n \geq x_0 =x+1> x $. 또한 모든 하위 시퀀스$(x_n)$ 수렴하다 $x$ 그래서 이후 $(x_n)_n$ 전적으로 각 용어로 구성된 하위 시퀀스를 포함합니다. $E_n$, 우리는 $y=\lim_n x_n \in \overline{E_n} = E_n$ 모든 $n$ 따라서 $y \in E$, 바라는대로.

위의 증명 개요가 정확합니까?

Answer 1

네, 맞습니다. 또 다른 방법은 동일한 기본 인수를 사용하지만 단순히 두 세트를 번갈아 가며 계산할 수없는 닫힌 집합의 교차점을 계산할 수 없음을 보여주는 것입니다. 무한히 많은 셀 수없는 닫힌 집합의 교차점은 셀 수없는 것이므로 즉시 다음과 같이 할 수 있습니다.$F_n=\bigcap_{k=1}^nE_n$, 선택 $x_1>x$ 에 $F_1$, 그리고 $n>1$ 고르다 $x_n>x_{n-1}$ 에 $F_n$. 이렇게하면 하위 시퀀스 (사실은 꼬리)가있는 시퀀스를 각$E_n$.

Answer 2

예, 당신의 증거는 괜찮습니다. 시퀀스를 정의하는 더 깔끔한 방법은 다음을 요구하는 것입니다.

1. $(x_n)$ 증가하고 있으며
2. 만약 $k$ 가장 큰 것입니다 $2^k\mid n$, 다음 $x_n\in E_{k+1}$.

이렇게하면 "계속"보다 약간 더 명확하고 계속 하는 방법에 대해 더 공식적 입니다. 그런 다음 하위 시퀀스를 가리키는 것도 매우 쉽습니다.$E_{k+1}$ 단순히 복용함으로써 $x_{2^k(2m+1)}$ ...에 대한 $m\in\Bbb N$.