폰 노이만 대수에 대한 질문

Question

허락하다 $M$ 폰 노이만 대수가되어 $\pi: M \rightarrow B(H)$대표가 되십시오. 한다고 가정$N$ von Neumann subalgebra of $M$ 그런 $E$ 충실한 조건부 기대입니다 $M$ ...에 $N$. 사실이라면$\pi$ 에 충실하다 $N$ 그것을 의미 $\pi$ 에 충실하다 $M$?

Answer 1

아니.

허락하다 $M=M_2(\mathbb C)\oplus\mathbb C$, 및 $N=\mathbb C\,I_3$.

허락하다 $\pi:M\to M_2(\mathbb C)$ 주어진 $\pi(A\oplus b)=b\,I_2$. 취하다$E(A,b)=\tfrac23\,\operatorname{Tr}(A)+\tfrac13\,\operatorname{Tr}(b)$.

그때 $E$ 에 대한 충실한 조건부 기대입니다 $N$, $\pi$ 에 충실하다 $N$, 및 $M_2(\mathbb C)\oplus0\subset\ker\pi$.