뿌리 찾기 $x^3 - 6x = 4$

Question

이 연습 문제는 Joseph Bak의 책 Complex Analysis에서 발췌했으며 다음과 같이 말합니다. "Find the three roots of $x^{3}-6x=4$ 세 가지 실제 가치 가능성을 찾아 $\sqrt[3]{2+2i}+\sqrt[3]{2-2i}$". 나는이 숫자들이 Cardan의 방법으로 발견되었다는 것을 알고 있습니다. 그러나 나는 그들이이 숫자들을주는 이유를 이해하지 못합니다. 저는 일반적인 방법으로 3 개의 진짜 뿌리를 찾았 기 때문입니다. Pd : 3 개의 진짜 뿌리는 $-2$, $1-\sqrt{3}$ 과 $1+\sqrt{3}$.

Answer 1

사용하다 $2+2i=(-1+i)^3$ 과 $2-2i=(-1-i)^3.$

이제 $\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i.$

그러므로, $\omega^2+\omega+1=0$ 과 $$(-1+i)+(-1-i),$$ $$(-1+i)w+(-1-i)w^2$$ 과 $$(-1+i)w^2+(-1-i)w$$ 우리의 진정한 뿌리를 제공하십시오.

다음과 같은 방법으로 얻은 첫 번째 줄 : $$2+2i=-2i(-1+i)=(-1+i)^2(-1+i)=(-1+i)^3$$ 과 $$2-2i=2i(-1-i)=(-1-i)^2(-1-i)=(-1-i)^3.$$

Answer 2

허락하다 $x=\sqrt[3]{2+2i}+\sqrt[3]{2-2i}$. 그때,

$x^3=2+2i+2-2i+3(\sqrt[3]{2+2i})^2(\sqrt[3]{2-2i})+3(\sqrt[3]{2+2i})(\sqrt[3]{2-2i})^2$

$=4+3(\sqrt[3]{2+2i}+\sqrt[3]{2-2i})(\sqrt[3]{2+2i})(\sqrt[3]{2-2i})$

$=4+3x\sqrt[3]{(2+2i)(2-2i)}$

$=4+3x\sqrt[3]{8}$

$=4+6x$

$\therefore x^3-6x=4$

따라서 $x=\sqrt[3]{2+2i}+\sqrt[3]{2-2i}$ 솔루션을 찾는 데 도움이 될 수 있습니다.

Answer 3

3 개의 실수 근을 가진 것으로 알려진 경우에 지수 형이 유용하다는 것을 알았습니다. 하나는 진정한 표현을 얻을 수 있습니다$\cos\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}k\right)$ 그 시점부터 모든 것을 현실로 유지하십시오.

$$\begin{align*}\sqrt[3]{2+2i}+\sqrt[3]{2-2i} &= \sqrt[3]{2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)}+\sqrt[3]{2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)}\\ \\ &= \left[2\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\right]^{\frac{1}{3}}+\left[2\sqrt{2}e^{-i\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\right]^{\frac{1}{3}} \quad k \in \{0,1,2\}\\ \\ &= \sqrt{2}\left[e^{i\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}k\right)}+e^{-i\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}k\right)}\right]\quad k \in \{0,1,2\} \\ \\ &= 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}k\right) \quad k \in \{0,1,2\} \\ \\ &= 2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{3}k\right) - \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{3}k\right)\right] \quad k \in \{0,1,2\}\\ \\ &= \left(1+\sqrt{3}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{3}k\right) -\left(\sqrt{3}-1\right) \sin\left(\frac{2\pi}{3}k\right) \quad k \in \{0,1,2\}\\ \\ &= \left\{1+\sqrt{3},-2 ,1-\sqrt{3}\right\}\\ \end{align*}$$