풀다 $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

값 찾기 $n \in \mathbb{N}$ 그것은 그것을 보유 $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

나는 불평등을 사용하려고 $(1 + x) \leq e^x$하지만 이것으로부터 나는 불평등이 $n > 36$. 하지만 얻을 필요가$n$ 가능한 한 작게.

나는 또한 유도를 시도했다 $n$, 그러나 나는 유도 단계에 갇혀 있었다. 특히$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

도움과 제안에 감사드립니다.

Answer 1

우리는 $e^{3x} > 3x \ge x$ ...에 대한 $x\ge 0$. 이것을 적용$x = \sqrt{n}$ 얻기 위해 $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. 양쪽을 정사각형으로하면$e^{6\sqrt{n}} > n$ 모든 $n\ge 0$.

Answer 2

(user2661923의 힌트를 기반으로 위의 주석을 참조하십시오.)

내가 설정 $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. 첫 번째 파생$f(x)$ 이다 $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

우리는 $f(1) = e^6 - 1 > 0$. 또한 확인하는 것이 어렵지 않습니다.$f'(x) > 0$ ...에 대한 $x \in [1, +\infty)$. 그러므로$f$ 증가하고있다 $[1, +\infty)$ 과 $f(1) > 0$. 따라서$f(x) > 0$ 모든 $x \in [1, +\infty)$. 그것은 의미$x < e^{6\sqrt{x}}.$

그리고 내 질문은 쉽게 이어집니다.

Answer 3

불평등은 모든 긍정적 $x$, 너무 효과적으로 증명이 과도하게 보인다 :-)

(그것을주의해라 $0<e^{6\sqrt0}$ 과 $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

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또는 Taylor를 사용하여

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$