푸리에 변환 표현식의 하한

Question

허락하다 $f,g \in L_2(\mathbb{R}) $, 그리고 $\hat{f}$ 과 $\hat{g}$푸리에 변환을 나타냅니다. 이 합계에 대한 하한을 찾으려고합니다.

$$ \left(\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, f^2(x) \, dx \int_{-\infty}^{\infty} k^2 \, \widehat{g}^2(k) \, dk \right)+ \left(\int_{-\infty}^{\infty} k^2 \, \hat{f}^2(k) \, dk \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, g^2(x) \, dx \right).$$

(내가 작업중인 PDE에 문제가 있습니다.) 나는 다음을 사용하여 아래에 같은 것을 작성했습니다.$L_2$ 표준:

$$ \left(|| xf || \cdot ||k \hat{g}||\right) + \left(||k\hat{f}|| \cdot || xg|| \right) $$

나의 초기 추측은 불확실성 원리를 사용하는 것이었지만, 그것은 다음의 제품 에 대한 하한만을 제공합니다.$|| xf ||$ 과 $|| k \hat{f} ||$, 여기에 도움이되지 않는 것 같습니다. 여기에 도움이 될 푸리에 변환에 대한 정체성이 있습니까? 아마도,$\int x^2 f^2 + \int k^2 \hat{f}^2$? 어떤 도움이나 제안이라도 대단히 감사하겠습니다. 감사!

Answer 1

어떠한 것도 $h\in L^2(\mathbb R)$, 허락하다 $D(h)=\int_{\mathbb R} u^2|h(u)|^2du$.

당신은 하한을 찾고 있습니다 $D(f)D(\hat g)+D(\hat f )D(g)$. 그것에 대한 어떤 제약없이 주목할 가치가 있습니다.$f$ 과 $g$, 하한은 $0$ 연결할 수 있기 때문에 $f=0$ 또는 $g=0$. 사실 전체 표현은 다음과 같이 선형 적으로 확장됩니다.$\|f\|$ 또는 $\|g\|$. 그래서 우리가 정규화했다고 가정합시다$f$ 과 $g$ 그래서 $\|f\|=\|g\|=1$.

불확실성 원리에 따르면 보편적 인 상수가 있습니다. $C>0$ 모두를 위해 $h\in L^2(\mathbb R)$ 와 $\|h\|=1$, $$D(h)D(\hat h)\geq C$$

정확한 가치 $C$ 푸리에 변환에 사용 된 정규화 규칙에 따라 다릅니다 ( $\frac 1 {16\pi^2}$ 또는 $\frac 1 {4\pi}$). 가우스 함수에 대해 동등성이 얻어집니다.

이것으로 $$D(f)D(\hat g)+D(\hat f )D(g)\geq C\left(\frac{D(f)}{D(g)}+\frac{D(g)}{D(f)}\right)$$

오른쪽은 최소입니다. $D(f)=D(g)$. 이 경우 최소화 할 표현식은 다음과 같습니다.$2D(f)D(\hat f)$, 불확실성 원리에 의해 $2C$, 가우시안 함수로 동등성을 얻습니다.

우리는 하한이 2C라고 결론을 내립니다. $f$ 과 $g$ 둘 다 가우스 함수입니다.