편미분 방정식에 변수 분리를 적용 할 때 솔루션을 잃습니까?
예를 들어, 다음 문제를 고려하십시오. $$\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\hspace{0.5cm} u(x,0)=f(x),\hspace{0.5cm} u(0,t)=0,\hspace{0.5cm} u(L,t)=0$$교과서 (예 : Paul 's Online Notes )는 일반적으로 변수 분리를 적용합니다.$u(x,t)=\varphi(x)G(t)$ 이 가정이 왜 만들어 질 수 있는지 설명없이.
두 변수의 함수가 있다는 점을 감안할 때 그런 식으로 솔루션을 잃습니까? $x$ 과 $t$ 그것은 개별 변수의 함수의 곱이 아닌가?
변수 분리는 경계 조건 만 고려할 때 다음과 같은 솔루션을 제공합니다. $$u_n(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t},\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
방정식은 선형이므로 다음을 중첩 할 수 있습니다. $u_n$: $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$$ 어디 $B_n$ 초기 조건에서 발견됩니다. $$B_n = \frac{2}{L}\int\limits_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
해결책이 있습니까 $u(x,t)$(이 특정 pde가 아니라 일반적으로) 이렇게 표현할 수 없습니까? 비선형 방정식의 경우 어떻게됩니까? 거기에 변수 분리를 적용 할 수 있습니까?
답변
원하는 솔루션 고려 $u(x,t)$ 고정 $t$즉, $x$. 이러한 기능은 완전한 기능 세트로 확장 될 수 있습니다.$f_n (x)$, $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n f_n (x) $$ 이제 다른 고정을 선택하면 어떻게 되나요? $t$? 경계 조건이있는 한$x$ 방향은 변경하지 마십시오 (예시의 경우), 여전히 동일한 세트에서 확장 할 수 있습니다 $f_n (x)$, 그래서 유일한 장소 $t$-의존성은 계수에 들어갑니다 $u_n $ -다른 기능을 확장하면 변화하는 것입니다. $x$ 같은 세트에서 $f_n (x)$. 그래서 완전한 기능적 의존성$u(x,t)$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n (t) f_n (x) $$따라서 분리 분석을 수행 할 때 솔루션이 제품이라고 가정하지 않습니다. 우리는 솔루션을 확장 할 수있는 제품 형태의 기반을 구축 할 수 있다고 말하고 있습니다. 이것은 큰 문제에 대한 제한이 아닙니다. 앞의 주장에서 알 수 있듯이, 경계 조건이$x$ 방향은 의존한다 $t$ -그러면 동일한 세트로 확장 할 수 없습니다. $f_n (x)$ 각각 $t$. 예를 들어 도메인이 삼각형 인 경우$x$-간격에 따라 다름 $t$, 귀하의 예제에서 사인 함수의 주파수는 $t$-매달린.
올바르게 언급했듯이 결국 우리는 분리 가능한 솔루션의 중첩으로 솔루션을 작성하므로 올바른 질문은 실제로 'PDE에 대한 모든 솔루션을 분리 가능한 솔루션의 합계로 표현할 수 있습니까?'
이 질문에 대한 철저한 답변에는 약간의 선형 대수가 필요합니다. 우리가 원하는 것은 기능 집합을 찾는 것입니다.$\{\varphi_n(x): n \in \mathbb{N}\}$ 그래서 매번 $t$ 솔루션 작성 $f$ 같이 $f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$ 어디 $G_n$시간에 따라 달라지는 몇 가지 계수 일뿐입니다. 이러한 함수 집합이있을뿐만 아니라 변수 분리 과정을 통해 이러한 함수 집합을 실제로 찾을 수 있습니다.
열 방정식을 다시 고려해 봅시다. 변수를 분리 할 때 상황을 두 개의 ODE로 줄입니다.
$$G'(t) = EG(t), \varphi''(x) = \frac{E}{k}\varphi(x) $$ 어디 $E$ 알려지지 않은 상수입니다.
미분은 선형이라는 것을 기억하십시오. $f$ 과 $g$ 및 상수 $a,b$ 우리는 $\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x)) = a\frac{df}{dx} + b \frac{dg}{dx}$. 이것이 의미하는 바는 두 ODE가 고유 값 문제라는 것입니다. 연산자에 대한 고유 값 문제가 있습니다.$\frac{d}{dx}$ 고유 값으로 $E$및 연산자에 대한 고유 값 문제 $\frac{d^2}{dx^2}$ 고유 값으로 $\frac{E}{k}$.
우리는 다음의 고유 벡터가 필요합니다. $\frac{d^2}{dx^2}$ (즉, 우리의 솔루션 $\varphi$ODE)를 사용하여 함수 공간의 기초를 형성합니다. 운 좋게도 우리를 위해 정확히 이런 일을하는 정리가 있습니다.
스펙트럼 정리 :
허락하다 $V$ 힐베르트 공간이고 $T: V \to V$(충분히 멋진) 자기 인접지도. 그런 다음$V$ 에 대한 고유 벡터로 구성된 $T$.
이를 이해하기 위해서는 최종 재료 인 내부 제품이 필요합니다. 이것은 3 차원에서 익숙한 ' 내적 ' 을 일반화하는 것 입니다. 두 기능의 내적$f$, $g$ 다음과 같이 정의되는 실수입니다. $$\langle f,g\rangle := \int_{0}^{\infty} f(x)g(x) dx$$.
기능의 기초 $\{f_n: n \in \mathbb{N}\}$다음과 같은 경우 직교 정규 라고 합니다.$\langle f_n, f_n \rangle = 1$ 과 $\langle f_n, f_m \rangle = 0$ 언제 $n \neq m$.
마지막으로 연산자가 $\frac{d}{dx}$자기 인접입니다. 이것이 의미하는 것은 두 기능에 대해$f$, $g$ 우리는 그것을 가지고 $\langle \frac{d^2 f}{dx^2},g\rangle = \langle f,\frac{d^2g}{dx^2} \rangle$. 이는 부분적으로 통합하여 수행 할 수 있습니다.
$$\int_{0}^{L} f''(x)g(x) dx = - \int_{0}^{L} f'(x)g'(x) dx = \int_{0}^{L} f(x)g''(x) dx$$ 경계 조건이 0이라는 것을 알려주기 때문에 경계 조건을 버렸습니다.
따라서 운영자 $\frac{d^2}{dx^2}$ 따라서 스펙트럼 정리는 고유 벡터가 함수 공간의 기초를 형성한다고 말합니다. $t$우리가 표현할 수 있는 등 선택 기능을$$f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$$따라서 우리는 이와 같은 방정식을 쓸 수 있다는 점에서 어떤 해결책도 잃지 않았습니다. 여기서 몇 가지 기술적 인 문제를 건너 뛰었습니다. 힐베르트 공간이 무엇인지 말하지 않았고, '모든'함수를 말할 때 실제로는 '모든 제곱 적분'함수를 의미합니다. 그러나 나는 이러한 기술이 이해에 중요하다고 생각하지 않습니다.
재미있는 추가 사항으로, 이제 내부 곱이 있으므로이를 사용하여 계열 솔루션의 계수를 간단히 유도 할 수 있습니다. 솔루션을 다음과 같이 작성합니다.$$f(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(t) G_n(x)$$ 이제 내적을 취하겠습니다. $f$ 기본 요소로 $\varphi_n(x)$. 이것은 우리에게
$$\langle f(x,0), \varphi_n(x) = \langle \sum_{k=0}^{\infty} \varphi_k(x) G_k(0), \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle $$
여기서 우리는 통합과 합산을 교환했습니다. 마지막으로 기저의 직교 정규성은$\{\varphi_k(x)\}$ 1 개를 제외한 모든 항이 0임을 의미하므로 $$ \langle f(x,0), \varphi_n(x) = G_n(0) $$ 기억하세요 $G_n(t) = B_n e^{-k\frac{n\pi}{L}^2 t}$, 그래서 $B_n = G_n(0)$ 내부 곱 공식을 적분으로 작성하면 $$\int_{0}^{L} f(x,0) \varphi_n(x) dx = \int_{0}^{L} f(x,0) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx $$ 이것은 시리즈 계수에 대한 일반적인 표현입니다!
변수 분리 방법은 방정식의 대칭에서 파생됩니다. 예를 들어 W. Miller의 저서 Symmetry and Separation of Variables를 참조하십시오 (절판되었지만 여기에서 사용 가능 ).
비선형 방정식의 변수 분리는 Victor A. Galaktionov, Sergey R. Svirshchevskii가 저서 Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman and Hall / CRC 2007에서 처리합니다.