QFT는 주파수 영역을 어떻게 표현합니까?
QFT는 종종 특정 기능을 시간 도메인에서 주파수 도메인으로 변환하는 고전적인 아날로그를 통해 설명됩니다. 이산 푸리에 변환을 볼 때, 특정 주파수에서 sin 파동이 스파이크가되는 것을 보는 것이 합리적입니다.
그러나이 "주파수 영역"개념이 양자 푸리에 변환에 어떻게 적용되는지 알 수 없습니다. 푸리에 기반은이 주파수 영역을 어떻게 표현합니까?
양자 "sin wave"에 QFT를 적용하면 특정 주파수가 출력됩니까?
답변
푸리에 변환은 시간 영역에서 주파수 영역으로 이동하는 것보다 더 일반적입니다. 예를 들어, 물리학 자들은 정기적으로 푸리에 위치 공간에서 운동량 공간으로 변환합니다.
이 두 예에서 푸리에 변환은 기본 변환입니다. 즉, 상태 자체를 변경하지 않고 일부 상태를 나타내는 데 사용되는 기본 벡터를 변환합니다. 마찬가지로 QFT는 단순히 계산 기반에서 푸리에 기반 으로의 기본 변환입니다 .
QFT가 더 친숙한 푸리에 변환과 어떻게 관련되는지 확인하려면 계산 기반과 푸리에 기반에서 정수가 어떻게 표현되는지 고려하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 설명을 위해 4 큐 비트 시스템에 대한 QFT의 특정 예를 살펴 보겠습니다.
계산 기반에서 정수는 이진 형식으로 표시됩니다 (규칙에 따라 왼쪽에 MSB가 있음). 따라서 4 큐 비트의 경우$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ 대수적으로 이것은 다음과 같이 주어진다. $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ 4 개의 Bloch 구체에서 $\vert abcd \rangle$,에서 계산 $\vert 0 \rangle$ ...에 $\vert 15 \rangle$외모가 좋아 :
Bloch 구체 표현에서 $\vert n \rangle$ 북극에서 순서가 지정된 큐 비트 세트로 구분됩니다. $\vert 0 \rangle$, 또는 남극, $\vert 1 \rangle$. 직관적으로 계산하는 동안 LSB와 관련된 큐비 트는$\vert d \rangle$, 모든 단계에서 상태를 변경하는 반면 MSB와 관련된 큐비 트는 $\vert a \rangle$, 8 단계마다 상태를 변경합니다. [Bloch 구는 실제로 리만 구 (예 : 복잡한 투영 선)이므로 다음과 같은 직교 상태입니다.$\vert 0 \rangle$ 과 $\vert 1 \rangle$, 대척 점으로 표시됩니다.]
푸리에 기반으로 표현 된 동일한 16 개의 정수, $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $에 의해 대수적으로 주어집니다. $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ 이제 푸리에 기준으로 계산하면 $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ ...에 $\vert \tilde {15} \rangle$ 4 개의 큐비 트는 모두 단계마다 상태를 변경합니다. $\vert \tilde a \rangle$ 가장 큰 단계를 밟습니다 (예 : $\vert + \rangle$ 과 $\vert - \rangle$, 즉 $\frac{1}{2}$ 단계 당 회전) 및 $\vert \tilde d \rangle$ 가장 작은 단계 ($\frac{1}{16}$ 단계 당 회전).
4 개의 Bloch 구체에서 $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$, 푸리에 기저로 계산하는 것은 적도 평면에서 회전하는 각 큐 비트 상태로 나타납니다. $\vert \tilde a \rangle$ ...에 $\vert \tilde d \rangle$.
단일 계산 순서에서 $\vert \tilde 0 \rangle$ ...에 $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ 관련 큐 비트 $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$, 및 $\vert \tilde d \rangle$ 정확하게 만들다 $2^3, \, 2^2, \, 2^1$, 및 $2^0$각각의 적도면에서 전체 회전. 마찬가지로 적도면에서 "회전 없음"을 상태로 간주하면$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$, 다음 $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ 모든 큐 비트를 회전하지 않고 $\vert \tilde {15} \rangle$최대 회전 (양의 방향)에서 모든 큐 비트를 제공합니다. [단일 큐 비트 QFT는 Hadamard 게이트 일뿐입니다.$H$. 차례로,$H$이 이전 답변 에서 언급했듯이 단순히 2- 수준 DFT 입니다.]
이 예에서는 높은 크기 가$\vert a \rangle$ 의 구성 요소로 $\vert n \rangle$계산 기반에서 다음 과 관련된 고주파수에 해당합니다.$\vert \tilde a \rangle$ 의 구성 요소로 $\vert \tilde n \rangle$ 푸리에 기준으로, 등등 $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$, 및 $\vert d \rangle$. 바라건대 이것은 QFT와 DFT 사이의 비유를보다 실감 나게 만드는 데 도움이되기를 바랍니다.
위에서 사용 된 방정식은 4 큐 비트 시스템의 예에만 해당됩니다. 그들은 자연스럽게 일반화합니다$N$-큐 비트 시스템 $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
QFT에 대한 추가적인 친숙 함과 편안함을 찾고 있다면 두 가지 모두 $\vert n \rangle$ 과 $\vert \tilde n \rangle$ 에 대한 직교 기본입니다 $\mathbb{C}^{2^N}$. 또 다른 훌륭한 운동은$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ 에 대한 단일 연산자입니다 $\mathbb{C}^{2^N}$. (이 두 가지 연습에서 두 문장 중 하나의 타당성은 다른 것의 타당성을 의미합니다.)
적용하면 $n$-qubit QFT는 다음과 같이 정의됩니다. $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ 상태에 따라 행동 $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ 와 $N = 2^{n}$ 주파수가있는 죄파에 $k$ ~로써 정의 된 $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ 와 $n > 1$ 과 $k \neq 0$ 값이 0이되는 것을 방지하기 위해 결과는 $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$. 이것은 직관적으로 일반적인 푸리에 변환과 일치합니다.$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ ...에 대한 $sin(2 \pi kx)$ 현대 물리학 형식 ($\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$) 및 $\omega$주파수를 나타냅니다. 반면에 파도는$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ 실제 코사인 파와 가상의 사인파를 결합한 것은 훨씬 더 자연스럽게 다음으로 직접 변환됩니다. $\left|k\right>$.
QFT의 "시간 변수"에 대한 대응은 시간이 아니라 계산 기반 상태이지만 두 염기 간의 관계는 시간 및 주파수의 관계와 유사합니다. 가져 가면$N$ 전체 원을 가로 지르는 복잡한 단위 원에서 균일 한 간격의 점 ($e^{-2\pi i x/N}$ ...에 대한 $x$ ...에서 $0$ ...에 $N - 1$ 시계 방향으로 이동), 확률 진폭으로 $a_k$ 각 주파수 $k$ 에 해당 $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$: 전통적인 "주파수"에 대한 직관적 인 링크는 기본 상태를 가로 질러 이동할 때 복잡한 단위 원이 완전히 원을 그리는 횟수입니다. 모든 주파수에 대한 이들의 합은 평소와 같이 원래 상태를 반환합니다.