Royden Real Analysis의 문제 (Lebesgue Outer Measure Problem)

Question

아래는 문제와 시도한 해결책이지만 이에 대한 질문이 있습니다.

문제 : 세트가$E$ 측정 가능합니다. $\epsilon > 0$, 닫힌 세트가 있습니다 $F$ 오픈 세트 $\mathcal{O}$ 어떤 $F \subseteq E \subseteq \mathcal{O}$ 과 $m^*(\mathcal{O} \setminus F) < \epsilon$.

(내 시도) 해결책 : $E$ 다음 두 가지가 유지되는 경우에만 측정 가능합니다.

$$(i) \text{ For each } \epsilon > 0, \text{ there exists an open set } \mathcal{O} \text{ containing } E \text{ for which } m^*(\mathcal{O} \setminus E) < \epsilon$$

$$(ii) \text{ For each } \epsilon > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ contained in } E \text{ for which } m^*(E \setminus F) < \epsilon.$$

특히, 우리는

$$(i) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists an open set } \mathcal{O} \text{ containing } E \text{ for which } m^*(\mathcal{O} \setminus E) < \frac{\epsilon}{2}$$

$$(ii) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ contained in } E \text{ for which } m^*(E \setminus F) < \frac{\epsilon}{2}.$$

둘 다 이후 $E$ 과 $F$ 측정 가능한 세트, 우리는 절제 속성에 의해

$$(i) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists an open set } \mathcal{O} \text{ containing } E \text{ for which } m^*(\mathcal{O}) - m^*(E) < \frac{\epsilon}{2}$$

$$(ii) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ contained in } E \text{ for which } m^*(E) - m^*(F) < \frac{\epsilon}{2}.$$

두 방정식을 모두 추가하면

$$(iii) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ and} \text{ open set } \mathcal{O} \text{, such that, } F \subseteq E \subseteq \mathcal{O} \text{ for which} $$ $$m^*(\mathcal{O}) - m^*(E) + m^*(E) - m^*(F) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}$$ $$m^*(\mathcal{O}) - m^*(F) < \epsilon.$$ 이후 $F$ 측정 가능, 우리는 절제 속성에 의해

$$m^*(\mathcal{O} \setminus F) < \epsilon,$$ 바라는대로.

제가 가진 질문은 "for $\frac{\epsilon}{2} > 0$".

Answer 1

충분한 조건에 대해 말하는 것이 더 낫다고 생각합니다. $\varepsilon>0$, 외부 측정의 규칙성에 의해, $\exists F$ 폐쇄 및 $O$ 오픈 세인트 $m^*(E\setminus O)<\frac{\varepsilon}{2}$ 과 $F\subset E$ 성 $m^*(E\setminus F)<\frac{\varepsilon}{2}$. 그런 다음 셀 수있는 가산 성을 적용합니다.

필요 조건을 위해 외부 측정의 단 조성을 사용하십시오.

이 주장은 당신의 질문을 피해야합니다.