샘플의 기대 값

Question

pdf가있는 분포가 있다고 가정 해 보겠습니다. $f(x)= 4(3-x^3)$ ...에 대한 $0<x<2$, 및 $0$다른 곳. 나는 찾을 수있다$E(X)$ 과 $Var(X)$ 기대 값의 표준 정의 사용 (즉, $xf(x)$) 및 분산. 그러나 우리가 어떤 크기의 무작위 표본을 받았다고 가정합니다.$15$,이 분포에서 얻어 졌으므로이 표본 자체는 평균을 갖게되며 문제는 표본 평균의 기대 값을 찾는 것입니다. 처음에는 샘플 평균의 예상 값과 분산이$E(X)$ 과 $Var(X)$ 그러나 표본 평균과 분산이 표본 크기에 의해 영향을 받는지 확실하지 않습니다.

내 쿼리는 샘플 평균의 예상 값이 다음과 같은지 여부입니다. $E(X)$ 표본 크기에 관계없이, 그렇지 않은 경우 표본 크기를 고려하여 표본의 예상 값을 결정하는 방법은 무엇입니까?

감사합니다.

Answer 1

가정하십시오 $X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} \text{Distribution}$ 의미가있다 $\mu$ 및 분산 $\sigma^2$. 그만큼$\text{Distribution}$ 정상일 필요는 없습니다 (그럴 수도 있지만).

나는 전체 파생물을 제공했습니다. 내 제안은 한 번에 한 줄 아래로 스크롤하고 다음 줄을 예상하여 직접 증명할 수 있도록하는 것입니다.

평균

$$\mathbb{E}\big[\bar{X}\big] =\mathbb{E}\Bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\Bigg[\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}\big[ X_i\big]$$

$$= \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu$$

$$=\dfrac{1}{n} n\mu$$

$$=\mu$$

변화

$$Var\big(\bar{X}\big) = Var\Bigg(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg)$$

$$=\dfrac{1}{n^2}Var\Bigg(\sum_{i=1}^n X_i\Bigg) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var\big(X_i\big) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{1}{n^2}n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{\sigma^2}{n} $$

참고 : 이것은 중앙 극한 정리의 증거가 아닙니다.