생성기 $S_4$

Question

그룹 $S_4$ 에 의해 생성 $\{(12), (1234)\}$. 이제 제가 알고 싶은 것은 순서의 주기로 어떻게 생성 할 것인가하는 것입니다. $4$ 그리고 모든 주문주기 $3$ 주문 $2$.

내 주요 질문은 동형의 수를 찾는 것입니다. $\varphi(1234) \to -1$ 과 $\varphi (12) \to -1$.

그러면 여기서 이상한 순열이 $-1$ 그리고 심지어는 갈 것입니다 $1$. (동형화 정리를 사용하지 않고 조잡한 계산으로 표시해야합니다.)

정말 도움이 필요 해요.

Answer 1

이상한 순열 $π$ 단어로 표현할 수 있어야합니다 $(12)$ 과 $(1234)$ 이상한 길이의 $n$, 둘 다 이상하기 때문입니다. 그러므로$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, 이후 $\varphi$ 동형입니다.

Answer 2

표현 이론 사용 ( https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) 나는 일하고 있었고 순열을 곱하기 위해 파이썬 프로그램을 처리하는 문자열을 개발했습니다. 작업 그룹 하위 집합의 크기를 단계적으로 늘 렸습니다. 표준 표현은 하나뿐입니다.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

여기에서 나머지는 '벗길'수 있습니다. $5$ 전치 및 전치에 대한 이유 설명 $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$