삼각수의 합

Question

잘 알려진 삼각수 $$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \cdots$$나는 그 숫자의 합계를 얻기 위해 다른 방법을 찾고 있습니다. 나는 우리가 그것을 아래와 같이 쓸 수 있다는 것을 안다.$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\sum\limits_{k=1}^i i\\= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2}=\\ \frac 12 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (i+i^2)=\\ \frac12 (\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\\ \frac{n(n+1)(n+2)}3$$ 나는 우리가 그것을 보여줄 수 있다는 것을 압니다. $\mathit{mathematical} \space \mathscr{Induction}$,하지만이 사실을 보여주는 방법이 더 있습니까? 예를 들어 단어가 없거나 다른 증거가 있습니다. 힌트, 해결책 또는 다른 아이디어에 대해 미리 감사드립니다. 또한 휴리스틱 솔루션에 대한 세부 사항을 찾고 있습니다.

Answer 1

사용 하키 스틱 ID를 :$$\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} {k +1 \choose 2}=\sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2}={n+2 \choose 3}$$

Answer 2

Nelson의 Proof Without Words 에는 이에 대한 몇 가지 "Proof Without Words"가 있습니다. 하나는 다음과 같습니다.

삼각형을 고려하십시오

 1
 1 2
 1 2 3
 : ...
 1 2 3 ... n-1
 1 2 3 ... n-1 n

및 그 회전

 1                      n
 2 1                    n-1 n-1 
 3 2 1                  n-2 n-2 n-2 
 : ...                  : ...
 n-1 n-2 ... 2 1        2 2 2 2 ... 2 2
 n  n-1 n-2 ... 2 1     1 1 1 1 ... 1 1 1

우리가 얻은 세 삼각형의 각 항목을 요약하면 다음과 같습니다.

n+2
n+2 n+2
n+2 n+2 n+2
: ...
n+2 n+2 n+2 ... n+2

따라서 $T_n (n+2) = 3\sum T_n$.

그러므로 $\sum T_n = \dfrac {n(n+1)(n+2)}6$.