사면체의 가능한 대칭 그룹

Question

그림의 대칭 $\mathcal{H}$ 에 $\mathbb{R}^3$ 유지하는 등거리 변환 $\mathcal{H}$불변. 모든 대칭의 집합$\mathcal{H}$분명히 그룹을 형성합니다. 우리는 정사면체의 대칭 그룹이$S_4$, 24 개 요소로 구성됩니다.

내 질문은``사면체의 가능한 대칭 그룹 (비정규)은 무엇입니까? ''입니다. 4 면체의 대칭은 정점을 정점으로 보낼 것이므로 대칭 그룹은 다음의 하위 그룹입니다.$S_4$. 그러나 모든 하위 그룹이$S_4$4 면체의 대칭 그룹으로 실현 될 수 있습니다. 예를 들어 대칭 그룹이 3, 4, 8, 12 차인 4 면체를 찾으려고했지만 성공하지 못했습니다.

누구든지 나를 도울 수 있습니까? 감사합니다!

Answer 1

순서의 대칭 그룹 $3$일어날 수 없습니다. 사면체가 vvertices를 갖도록$1,2,3,4$. 주문의 하위 그룹$3$ 의 $S_4$ 3 주기로 생성됩니다. $(a,b,c)$. WLOG 우리는 그것이$(1,2,3)$. 그런 다음 가장자리$[13]$ 가야한다 $[21]$ 수정해야하는 대칭 아래 $4$. 따라서 가장자리$[14].[24],[34]$ 길이가 같고 $[12],[23]$길이가 같습니다. 하지만 순열$(13)$ 대칭이며 대칭 그룹은 순서가 균등해야합니다.