상태와 주변 경계 사이의 최대 상대 엔트로피

Question

배경

양자 상대 엔트로피는 모든 양자 상태에 대해 정의됩니다. $\rho, \sigma$ 같이

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

임의 선택 $\rho,\sigma$, 양자 상대 엔트로피는 음이 아닌 값을 취할 수 있습니다. 이분 국가를 고려하십시오$\rho_{AB}$ 그리고 그 한계를 $\rho_A$ 과 $\rho_B$. 고려한다면$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, 우리는 상호 정보가 있습니다. 또한, 우리는

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

질문

상대 엔트로피의 원샷 아날로그는 최대 상대 엔트로피이며 다음과 같이 정의됩니다.

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

어디 $A\geq B$ 표시하는 데 사용됩니다 $A-B$양의 반 정호입니다. 일반 상대 엔트로피와 마찬가지로 최대 상대 엔트로피도 음이 아닌 값을 취할 수 있습니다. 지금 고려한다면$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, 취할 수있는 최대 값에 대한 상한선이 있습니까?

나는 대답이 예라고 믿는다. $+\infty$ 의 지원으로 인해 제외되었습니다. $\rho_{AB}$ 지원에 포함되는 $\rho_A\otimes\rho_B$ 그러나 경계를 찾을 수 없었습니다.

Answer 1

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ 상호 정보 경계를 포화시키는 상태는 $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ 어디 $N = \min(|A|,|B|)$ 과 $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ 의 기초이다 $A,B$, 각각. 직관적으로이 상태는 경계의 엔트로피를 최대화하면서$A$ 과 $B$ 완벽하게 상관되었습니다.

이 상태는 $I_{\max} = \log_2(N)$. 이것이 상한선이라는 것을 증명하지는 못했지만 시작하기에 좋은 곳인 것 같습니다.