Schwarz Lemma에 대한 운동

Question

이것은 Schwarz Lemma에 대한 설명입니다.

허락하다 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ 단순히 연결된 도메인이어야하며 $z_0 \in \Omega \neq \mathbb{C}$. 또한$f, g: \Omega \to \Omega$ biholomorphic와 같은

\begin{align} f(z_0) = g(z_0), \qquad f'(z_0) = g'(z_0). \end{align}

그 증거 $f = g$.

힌트는 Schwarz의 Lemma와 Riemann의 매핑 정리를 사용하라는 내용입니다. 사실 나중에 Schwarz의 Lemma (이 경우) 만 사용할 수 있습니다. 누군가가 Schwarz의 Lemma를 사용하여 그것을 보여주는 적절한 (두 번째) 힌트를 줄 수 있습니까?$f = g$? 사용을 고려할까요$h:= f-g$?

Answer 1

이후 $\Omega\subsetneq\Bbb C$ Riemann 매핑 정리에 의해 우리는 그것이 존재한다는 것을 압니다. $h:\Omega\to\Delta$ biholomorphic와 같은 $h(z_0)=0,\; h'(z_0)\neq0$, 어디 $\Delta$ 오픈 유닛 디스크입니다.

그때 고려 $$ F:=h\circ g^{-1}\circ f\circ h^{-1}\colon\Delta\to\Delta $$ 이것은 biholomorphism입니다. $F(0)=0$ 과 $|F(z)|<1$ 전체적으로 $\Delta$; 따라서 Schwartz Lemma에 의해 우리는\begin{align*} &|F(z)|\le|z|\;\;\forall z\in\Delta. \end{align*} Schwartz는 다음에 적용됩니다. $F^{-1}$ 뿐만 아니라 우리가 달성하도록 $|F^{-1}(w)|\le|w|\;\;\forall w \in\Delta$.

매번 $w\in\Delta$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $F(z)$ 독특한 $z\in\Delta$, 우리는

$$ |z|\le|F(z)|\;\;\; \forall w\in\Delta $$ 따라서 $$ |F(z)|=|z|\;\;\forall z\in\Delta. $$ 그래서 Schwarz는 $F(z)=az$ 일부 $a\in\Bbb C,\;|a|=1$.

이 마지막 것의 미분을 $0$ 하나에 대한 가설을 활용 $f$ 과 $g$, 당신은 그것을 얻습니다 $a=1$ 따라서 $f=g$.

Answer 2

힌트 : 단위 디스크의 모든 이중 홀로 모픽 맵 $U$ 그 자체는 형태입니다 $z \to e^{i\theta} \frac {z-a}{1-\overline a z}$ 어디 $|a|<1$ 과 $\theta \in \mathbb R$. 그러한 두 맵이 어떤 시점에서 동일한 값과 동일한 도함수를 가지면$\theta$ 과 $a$따라서 기능은 동일합니다. 이제 RMP를 적용하여 단순히 연결된 영역에 대해 동일 함을 증명하십시오.$\Omega$ 이것 말고도 $\mathbb C$.