세트 포함을 이해하려고

Question

Michael Field의 Essential Real Analysis 에서 증명을 읽는 동안 막혔습니다 . 그의 텍스트의 어려운 부분은 다음과 같습니다.

"고르다 $\varepsilon>0$. 이후$(X_n)$ 코시입니다, 존재합니다 $N_1\in\mathbb{N}$ 그런 $h(X_n,X_m)<\varepsilon$, 모든 $n,m\geq N_1$. 이후$X_m\subset X_n(\varepsilon)$, 모든 $n,m\geq N_1$ 과 $\Lambda=\bigcap_{n\geq p}\overline{\bigcup_{m\geq n}X_m}$, 모두 $p\geq 1$, 우리는 확실히 $\Lambda\subset X_n(\varepsilon)$, $n\geq N_1$. "

내가 이해하지 못하는 것은 "... 우리는 확실히 $\Lambda\subset X_n(\varepsilon)$, $n\geq N_1$. "

$h(X_n,X_m)<\varepsilon\Rightarrow X_m\subset X_n(\varepsilon)$ 기본형에서 뒤 따르고 $\Lambda$ 이전에 다음과 같이 정의됩니다. $\Lambda=\bigcap_{n\geq 1}\overline{\bigcup_{m\geq n}X_m}$. Field가 무엇을 의미하는지 알 수 없습니다. "$1$"에서"$p$"및"모두 $p\geq 1$".

$h$ 메트릭이므로 $h(X_n,X_m)=h(X_m,X_n)$ 과 $X_n\subset X_m(\varepsilon)$또한. 세트$X_n$ 시퀀스를 구성하는 $(X_n)$ 압축 된 부분 집합 $\mathbb{R}^n$, 따라서 그들은 닫히고 제한됩니다. $X_n(\varepsilon)$ 열린 이웃입니다 $X_n$. 즉,$\varepsilon$ 의 $X_n$.

나는 하루 종일 이것을 알아 내려고 노력했으며 많은 도움을 주시면 감사하겠습니다. 편집 : 질문을 더 명확하게하기 위해 몇 가지 요점을 추가했습니다.

Answer 1

허락하다 $Y_n=\overline{\bigcup_{m\geq n}X_m}$. 참고$n\leq n'$ 그때 $Y_n\supseteq Y_{n'}$, 이후 $Y_{n'}$노조의 용어가 적습니다. 그래서 우리가 정의 할 때$$\Lambda=\bigcap_{n\geq 1}Y_n,$$ 그것은 실제로 중첩 시퀀스의 교차점입니다. $Y_1\supseteq Y_2\supseteq Y_3\supseteq\dots$. 이것은 시퀀스를 시작하면$Y_p$ 보다는 $Y_1$, 교차로는 여전히 동일합니다. $Y_p$ 이미 모든 $Y_1,\dots,Y_{p-1}$. 그건,$\Lambda$ 또한 같다 $$\bigcap_{n\geq p}Y_n$$ 어떠한 것도 $p\geq 1$.

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그러나 실제로이 단계는 불필요합니다. 결론을 내리기 위해$\Lambda\subseteq X_n(\epsilon)$ ...에 대한 $n\geq N_1$, 당신은 단지 $Y_n\subseteq X_n(\epsilon)$ 이후 $Y_n$ 집합의 결합의 폐쇄이며, 모두에 포함되어 있습니다. $X_n(\epsilon)$. (하지만 여기서는$X_n(\epsilon)$정의 된 경우 닫힌 세트입니다. 그렇지 않다면$\Lambda\subseteq X_n(\epsilon)$ 잘못되었을 수 있으며 다음과 같이 대체해야합니다. $\Lambda\subseteq X_n(2\epsilon)$.) 이후 $Y_n$ 교차로를 정의하는 용어 중 하나입니다. $\Lambda$, 이것은 즉시 $\Lambda\subseteq X_n(\epsilon)$.