세트에 보렐 측정
허락하다 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 연속적이다 ($f(x) = \lim\limits_{h\to 0^+} f(x+h) \,\forall x \in \mathbb{R}^n$) 및 $n$-증가 (즉 $\Delta_{(a,b]} F \geq 0\,\forall a \leq b$ (여기 $\leq $ 구성 요소별로 이해 됨), 여기서 다변량 구간의 부피는 $f$ 이다 $\Delta_{(a,b]}F := \sum_{i\in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_{j=1}^n i_j} F(a_1^{i_1}b_1^{1-i_1},\cdots, a_n^{i_n}b_n^{1-i_n}).$ 고유 한 Borel 측정 값이 있음을 보여줍니다. $\mu_F$ 그런 $\mu_F((a,b]) = \Delta_{(a,b]} F, a\leq b.$
Caratheodory의 확장 정리를 사용해야한다고 생각합니다. 반지를 사용할 생각이에요$R := \{(a,b] \in \mathbb{R}^n : a\leq b\} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),$ 어디 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ Boreal을 나타냅니다 $\sigma$-대수 $\mathbb{R}^n.$ 사전 측정을 정의해야합니다. $\mu_0$ 의 위에 $R,$ 말하다 $\mu_0(\cup_{i=1}^\infty (a_i, b_i]) = \sum_{i=1}^\infty \Delta_{(a_i,b_i]} F.$ 그러면 이것이 사전 측정이라는 것을 확인할 수 있다면 분명히 $\mu_F(A) = \mu_0(A)$ 널이 아닌 모든 세트에 대해 $R,$ 그래서 Caratheodory의 확장 정리에 의해 $\mu_F$ 독특합니다.
이것이 잘못 되었습니까?
답변
게시물에서 언급했듯이 세미 링을 고려하는 것이 더 편리 할 수도 있지만 Caratheorody의 확장 정리를 적용하여 얻을 수 있습니다 (Kallenberg의 확률 기초 참조).
Borel 공간에 대한 조치 고려 $(\mathbb{R}^d,\mathscr{B}(\mathbb{R}^d))$. 에 대한${\bf x},\,{\bf y}\in\,\mathbb{R}^d$, 우리는 표기법을 사용합니다 ${\bf x}\leq {\bf y}$, 및 ${\bf x}<{\bf y}$ 그것을 나타 내기 위해 $x_k\leq y_k$ 과 $x_k<y_k$ 각각 표시하겠습니다. ${\bf e}=(1,\ldots,1)^\top$. 마지막으로 컬렉션을 고려하십시오.$\mathscr{E}$ 모든 $d$-차원 간격 $\prod^d_{k=1}(a_k,b_k]=({\bf a},{\bf b}]$ 와 $a_k\leq b_k$, 이것은 분명히 세미 링입니다.
모든 기능 $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ 정의 $j$-증가 연산자 $$\Delta_j(a,b)F({\bf s})= F(s_1,\ldots,s_{j-1},b,s_{j+1},\ldots,s_d)-F(s_1,\ldots,s_{j-1},a, s_{j+1},\ldots,s_d)$$ 그리고 명백한 관례 $j=1$ 과 $j=d$. 분명히$\Delta_j(a, b)$ 선형입니다.
쌍용 $\{(a_j,b_j):j=1,\ldots,n\}$ 와 $a_j<b_j$, 우리는 사용 $\prod^n_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$ 구성 $\Delta_n(a_n,b_n)\circ\prod^{n-1}_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$, 어디 $\prod^1_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)=\Delta_1(a_1,b_1)$.
허락하다 $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ 옳다-연속적, 즉, $\lim_{{\bf x}\searrow{\bf a}}F({\bf x})=F({\bf a})$. 에 대한$a\leq b$ 과 $1<j<d$ 표시하다
정리 : 그 가정$F$옳고 연속적이고 음 이 아닌 증분을가집니다. 즉,$\mu(({\bf a},{\bf b}]):=\prod^d_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)F\geq0$ 어떠한 것도 $d$-차원 간격 $({\bf a},{\bf b}]$. 그때$\mu$ 에 대한 측정에 대한 확장을 인정 $\sigma$--대수학 $\mathcal{M}_\mu\supset\mathscr{B}(\mathbb{R}^d)$.
증거 스케치 :
분명히 $\mu(\emptyset)=0$ 과 $\mu$ 유한하게 가산됩니다 $\mathscr{E}$. 이제 우리는$\mu$ 셀 수 없을 정도로 하위 $\mathscr{E}$. 만약$({\bf a},{\bf b}]=\bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]$, 오른쪽-증분의 연속성과 긍정 성 $F$ 그것을 암시 $\varepsilon>0$, 있습니다 ${\bf a}_\varepsilon$ 과 ${\bf b}_\varepsilon(j)$ 그런 $$ \mu(({\bf a},{\bf b}])< \mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}])+\tfrac{\varepsilon}{2}; \quad \mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)])< \mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\tfrac{\varepsilon}{2^{m+1}} $$ 닫기 상자 이후 $[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]$ 작고 $$\begin{align}\label{compactbox} [{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}] \subset ({\bf a},{\bf b}]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))\tag{1}label{compactbox} \end{align} $$ 있다 $N_0\in\mathbb{N}$ 그런 $({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset \bigcup^{N_0}_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))$. 유한 가산 성은 세미 링에 유한 하위 가산 성을 의미합니다.$\mathscr{E}$, 그래서 $$\begin{align} \mu(({\bf a},{\bf b}])&<\mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]) +\tfrac{\varepsilon}{2} \leq \sum^{N_0}_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)]) + \tfrac{\varepsilon}{2}\\ &\leq \sum^\infty_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\varepsilon \end{align} $$ 셀 수없이 하위 부가 성 $\mu$ 의 위에 $\mathscr{E}$ 다음과 같이 $\varepsilon\searrow0$. 결론은 Carath'eodory의 확장 정리에서 나온다.